Опять про элементарные функции

[Munin]

grizzly в сообщении #1197067 писал(а):

Надеюсь, Вас в этом вопросе не поддержит ни один математик.

Лучше бы вы мечтали, чтобы меня не поддержал ни один физик, инженер или экономист. Но видимо, вы понимаете, что тут вас ждёт облом.

А математическое образование, я напоминаю, даётся физикам, инженерам и экономистам в отношении $10^k:1$ по отношению к тому, что даётся математикам, где $k\approx 2\ldots 4.$ Так что, обсуждая математическое образование, сужать его до "образования математиков" абсолютно неправомерно.

[grizzly]

Munin в сообщении #1197073 писал(а):

Лучше бы вы мечтали, чтобы меня не поддержал ни один физик, инженер или экономист. Но видимо, вы понимаете, что тут вас ждёт облом.

У Вас разыгралось воображение. Здесь пока высказалось в Вашу поддержку не так много физиков, инженеров и экономистов, чтобы я начинал о чём-то мечтать.

Munin в сообщении #1197073 писал(а):

А математическое образование, я напоминаю, даётся физикам, инженерам и экономистам в отношении $10^k:1$

У меня совсем нет опыта преподавания математики физикам. Подскажите мне, если не сложно, как много времени там уделяется понятию элементарных функций. Так, чтобы я мог сориентироваться по шкале "цена / качество".

[ewert]

Munin в сообщении #1197061 писал(а):

А в практической работе, никто не смущается использовать функции Бесселя столь же легко, как и арктангенсы.

Это иллюзия. Для того, чтобы "использовать легко", мало иметь кнопочку на калькуляторе. Надо ещё как минимум понимать, зачем эта кнопочка нужна. А для этого нужно как минимум иметь представление о хотя бы основных свойствах этих бесселей. Вот и попробуйте описать, скажем, их поведение на бесконечности, не зная ни косинусов, ни корней.

Вообще разделение функций на элементарные и спец действительно несколько условно, а его жёсткая формализация -- видимо, мало кому нужна. Тем не менее, возникло и поддерживается это разделение отнюдь не только по историческим причинам. А в первую очередь потому, что у них свойства гораздо проще. Это и облегчает их вычисление, и делает работу с ними обозримее.

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1197083 писал(а):

А в первую очередь потому, что у них свойства гораздо проще.

Эту мысль можно раскрыть подробнее?

[ewert]

grizzly в сообщении #1197082 писал(а):

Подскажите мне, если не сложно, как много времени там уделяется понятию элементарных функций.

Ноль. Не до этого.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1197061 писал(а):

Так что извините, "элементарные функции" - это фантом, и в образовании он своё место занимает незаслуженно.

Так и алфавит занимает свое место в жизни людей тоже совершенно дармоедски! Зачем он нужен со всеми своими буквами, если слова и так есть.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1197085 писал(а):

Эту мысль можно раскрыть подробнее?

Например, синус достаточно уметь вычислять только на четверти периода. Логарифм -- только от единицы до двух. На этих участках они весьма эффективно приближаются даже многочленами. А вот с теми же бесселями, или эрфиками, тем более обратными к ним всё хуже.

[grizzly]

ewert в сообщении #1197090 писал(а):

Ноль. Не до этого.

Спасибо. Вы меня не удивили
Я примерно так и представлял -- есть удобный общепринятый термин, который воспринимается окружающими на уровне естественного контекста (зачастую не совсем точно или даже совсем неточно) и каждый желающий при необходимости может уточнить её для себя настолько глубоко, насколько ему это интересно.

А понятие "разрешимость в квадратурах" тоже никому не нужно? или его кто-то может ввести без понятия "элементарные функции"? (upd. снимаю вопрос.)

[ewert]

grizzly в сообщении #1197095 писал(а):

А понятие "разрешимость в квадратурах" тоже никому не нужно?

Насчёт понятия не скажу, но сама разрешимость, конечно, нужна.

grizzly в сообщении #1197095 писал(а):

или его кто-то может ввести без понятия "элементарные функции"?

А при чём тут элементарные функции? Скажем, уравнение с разделяющимися переменными разрешимо в квадратурах совершенно независимо от того, какие в нём функции.

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1197090 писал(а):

Ноль. Не до этого.

Ну, если не считать, что половину практических занятий по матану они тренируются брать интегралы от элементарных функций в элементарных функциях.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1197105 писал(а):

Ну, если не считать, что половину практических занятий по матану они тренируются брать интегралы от элементарных функций в элементарных функциях.

Чтобы это делать не обязательно вводить понятие элементарной функции. И я совсем не думаю, что кто-то против того, чтобы студенты понимали, как берутся интегралы.

-- 04.03.2017, 16:41 --

ewert в сообщении #1197098 писал(а):

А при чём тут элементарные функции? Скажем, уравнение с разделяющимися переменными разрешимо в квадратурах совершенно независимо от того, какие в нём функции.

удалено. (Это я о своём размечтался -- начитался интересных вещей по своей ссылке выше). Но здесь это лишнее.

[Dmitriy40]

Хочу добавить про практическую полезность для инженеров.
Цель взятия первообразной обычно не является окончательной типа подставляй числа и считай, а нужно для подстановки в другие формулы и получения именно что зависимостей поведения каких-то вычисляемых величин от некоторых входных параметров. Т.е. задача оптимизации значений функций от доступных к варьированию параметров. И тут конечно можно строить сетки и искать всё численно, но это долго, неточно и неудобно. Когда можно построить аналитическое выражение и легко его исследовать (поведение функции от аргументов) - сильно облегчает жизнь. Тут уж никакая кнопочка калькулятора "посчитать определённый интеграл" (или разложение в ряд) не спасёт. Элементарные функции (но конечно не только они) обладают в этом смысле рядом хороших свойств, упрощающих выкладки и делающих их вообще возможными. Простейшие примеры практических расчётов: определение границ устойчивости усилителей; поиск оптимального соотношения параметров деталей; проверка наличия особых точек в передаточных фукнциях; и т.д. Всё это можно решать и численно, но ... не всегда и не надёжно. Например я сомневаюсь что Монте-Карло реально найдёт уединённую точку $x=1$ в решении уравнения $\sqrt{||x-1|-1|-1}=0$ (конечно это слишком простой пример, но вспоминать сложный неохота).
Так что аналитические выкладки в инженерной практике всё же нужны. Правда с делением функций на элементарные и прочие это не особо связано, разве что исторически.

[Munin]

grizzly в сообщении #1197095 писал(а):

Спасибо. Вы меня не удивили :D

Но и лапши на уши навешал.

grizzly в сообщении #1197108 писал(а):

Чтобы это делать не обязательно вводить понятие элементарной функции.

Вообще-то обязательно. Потому что про некоторые интегралы говорится, что они "не берутся". И вокруг этой неберущести куча танцев с бубном и завываний.

[bot]

GAA:

Из темы удалены сообщения злостного клона и ответы на них.

-- Сб мар 04, 2017 22:45:33 --

Munin в сообщении #1197132 писал(а):

Никто не спорит, что косинусы и логарифмы нужны.

А ещё что нужно? арксинус, экспонента, логарифм - есть возражения? Вряд ли.
С чем Вы спорите - с естественными арифметическими операциями или не менее естественной композицией?
Или просто хотите в построении остановиться - на каком этаже, на третьем, пятом? А почему не на двадцатом?

[Munin]

bot
Ровно наоборот, я хочу сказать, что подобные ограничения неестественны. А имеют место.

Например, почему бы не пополнить класс решениями всех дифуров некоторого простого вида (скажем, полинома от $x,y,d/dx$)? Или чем-нибудь ещё? Для меня неестественным выглядит, когда композицией пользуются, а взятием обратной функции - нет. А произвол выбора ветки многолистной функции намекает, что и кусочно-заданные функции неплохо бы охватить.