2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 14:27 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #1196687 писал(а):
А оно при сужении на поверхность даёт уравнение Лапласа на этой поверхности?
Согласен, что это место следует пояснять. Там тоже можно рассудюшкой, но что-то они популярностью не пользуются.

У меня другая придирка. В исходной задаче один из источников переносится в бесконечность, что не есть хорошо. (Это следует из опущенной рассудюшки о переходе к двумерии, а также из формулы преобразования заряда при инверсии). Поэтому хочется что бы ни один источник не совпадал с северным полюсом сферы. IMHO, сферу надо сначала повернуть, потом сосчитать поле двух точечных зарядов и потом, если хочется, развернуть обратно.

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 15:25 
Аватара пользователя
Хороший вариант. Причём, поле двух точечных зарядов на плоскости можно подвергать гомотетии. Или сферу другого радиуса взять.

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 17:08 
Аватара пользователя
amon в сообщении #1196741 писал(а):
Munin в сообщении #1196687 писал(а):
А оно при сужении на поверхность даёт уравнение Лапласа на этой поверхности?


У меня другая придирка. В исходной задаче один из источников переносится в бесконечность, что не есть хорошо. (Это следует из опущенной рассудюшки о переходе к двумерии, а также из формулы преобразования заряда при инверсии). Поэтому хочется что бы ни один источник не совпадал с северным полюсом сферы. IMHO, сферу надо сначала повернуть, потом сосчитать поле двух точечных зарядов и потом, если хочется, развернуть обратно.


Здесь как-раз все просто.
Можно ведь рассмотреть задачу Дирихле для небольшого контакта.
То есть потенциал задан на небольшой окружности. Мы выкидываем из сферы оба полюса, чтобы не иметь дело с бесконечными потенциалами.

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 18:16 
Аватара пользователя
fred1996 в сообщении #1196778 писал(а):
То есть потенциал задан на небольшой окружности.
Боюсь, не прокатит. При инверсии эта окружность перейдет в другую окружность, и потенциал на ней возрастет, так что выкинуть ее не получится

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 18:36 
Аватара пользователя
amon в сообщении #1196789 писал(а):
fred1996 в сообщении #1196778 писал(а):
То есть потенциал задан на небольшой окружности.
Боюсь, не прокатит. При инверсии эта окружность перейдет в другую окружность, и потенциал на ней возрастет, так что выкинуть ее не получится


Потенциалы проецируются один в один. Вам же дано уравнение Лапласа для потенциала. При проецированиях вы просто меняете координатные сетки. При этом из-за локальной масштабируемости меняются плотности токов. Но потенциалы не масштабируются. Они остаются на месте. Если не верите, посчитайте в лоб.
Одна задача. Это задача на сфере с выкинутыми кругами на полюсах маленького радиуса.
Задайте на границах этих кругов потенциалы скажем +1 и -1.
Затем сделайте стереографическую проекцию этой выколотой сферы на плоскость и задайте те же +1 и -1 на получившихся окружностях. Решите задачу на плоскости, а потом сравните с результатом на сфере. Потенциалы везде совпадут. Не совпадут только величины плотностей токов, хотя направления опять совпадут.

-- 03.03.2017, 08:15 --

amon в сообщении #1196741 писал(а):
Munin в сообщении #1196687 писал(а):
А оно при сужении на поверхность даёт уравнение Лапласа на этой поверхности?
Согласен, что это место следует пояснять. Там тоже можно рассудюшкой, но что-то они популярностью не пользуются.


Ну хорошо. Давайте так.
Если уж вам хочется абсолютной математической строгости.
Пусть у нас есть два точечных заряда, разенсенные на какое-то расстояние $d$
Заряды просто в пространстве без всяких сфер. Вычислим поле и потенциалы вокруг этих зарядов. Понятон, что если эти заряды поместить в проводящую среду и подвести источник тока, чтобы компенсировать утекание заряда, то ток пойдет по линиям поля. Теперь ограничим наше пространство тонкой сферой, включающей оба заряда. Понятно, что поле теперь будет не по касательной к сфере. Но мы сосчитаем проекцию поля на касательную. Это и будет величина поля на изначальной сфере.
Кстати, потенциалы на сфере останутся те же, как и для распределения у точечных зарядов.
Единственное ограничение. Мы запретили утекание и втекание тока через поверхность сферы. Так что задача просто свелась к распределению потенциалов на сфере от двух точечных зарядов в пространстве.

Но тогда можно задачу обобщить на любой тип достаточно гладкой поверхности.
Достаточно сосчитать потенциал в пространстве от двух точечных зарядов, а потом "вырезать" его заданной поверхностью.
Интересно, где я наврал в моих рассуждениях?

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 19:55 
Аватара пользователя
Где-то точно наврал.
Ведь тогда ничего нам не мешает запустить кое-где между зарядами поверхность, совпадающую с эквипотенциальной. Тогда тока на этом участке не будет. А это уже абсурд.
Получается, что наличие ограничивающей поверхности искривляет потенциал в пространстве.
Хотя заряд нигде не накапливается и равен нулю. А может тогда где-то накапливается до установившегося распределения? В общем я совсем запутался.

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 20:53 
Аватара пользователя
fred1996 в сообщении #1196823 писал(а):
Где-то точно наврал.
Тут, на мой взгляд, такая петрушка. Постановка с заданными потенциалами не хорошая (я в голове держал другую, о которой расскажу позже). Ваше колечко вокруг полюса преобразуется в кольцо большого, но конечного радиуса. Убрать его на бесконечность не получится - тогда на сфере получится некорректная задача с заданным в одной точке потенциалом. Область же на экваторе преобразуется в некоторую зюзюку, еще и не в центре кольца. Ответ начинает зависеть как от формы, так и от положения зюзюки, и что с этим делать - бог весть.

Я (как обычно, прочитав условие через строчку) держал в голове другую постановку. На контактах заданы токи. Тогда $\sigma E=j\;\Rightarrow \sigma \operatorname{div} E=\operatorname{div} j\;\Rightarrow \Delta \Phi=J\delta(\theta-\theta_0)\delta(\sin\theta-\sin\theta_0)\delta(\varphi-\varphi_0)$
Получился Пуассон для точечных зарядов. При инверсии $\delta$-функции умножатся на якобианы в соответствующих точках, поэтому на плоскости надо решать задачу с другими точечными зарядами. Зато, в такой постановке все вроде как точно решается без непонятных предельных переходов и спец. функций. Только надо заряд убрать из полюса - там у якобиана сингулярность.

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 21:13 
Аватара пользователя
amon в сообщении #1196844 писал(а):
fred1996 в сообщении #1196823 писал(а):
Где-то точно наврал.
Тут, на мой взгляд, такая петрушка. Постановка с заданными потенциалами не хорошая (я в голове держал другую, о которой расскажу позже). Ваше колечко вокруг полюса преобразуется в кольцо большого, но конечного радиуса. Убрать его на бесконечность не получится - тогда на сфере получится некорректная задача с заданным в одной точке потенциалом. Область же на экваторе преобразуется в некоторую зюзюку, еще и не в центре кольца. Ответ начинает зависеть как от формы, так и от положения зюзюки, и что с этим делать - бог весть.


Не понимаю в чем проблема.
Задача на сфере с двумя маленькими выколотыми колечками в полюсах решается на раз.
Проецируем решение на плоскость так, что имеем кольцо с очень маленьким внутренним и очень большим наружным радиусоми. Сдвигаем всю плоскость на $2r$ или на сколько потребуется. Маленькая и большая окружности сдвинулись. Большая окружность все равно охватывает начало координат. У нее же радиус заведомо больше $2r$. Теперь мы все получившееся кольцо проецируем обратно на сферу. Маленькая окружность у нас будет охватывать наш второй контакт, а большая окружность спроецируется на маленькую окружность но все равно вокруг северного контакта. Таким образом все особые точки выкинуты из задачи.

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 23:07 
Аватара пользователя
fred1996 в сообщении #1196848 писал(а):
Не понимаю в чем проблема.
Ваши сдвинутые окружности на плоскости при проектировании перейдут в довольно хитрые кривые на сфере, а если Вы попробуете на сфере "разогнуть" их в окружности, то на плоскости получите хитрые кривые. Т.е. ответ в такой постановке зависит от формы контактов, а сделать контакты точечными нельзя.

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 23:47 
Аватара пользователя
amon в сообщении #1196900 писал(а):
Ваши сдвинутые окружности на плоскости при проектировании перейдут в довольно хитрые кривые на сфере

Да?

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение03.03.2017, 23:59 
Аватара пользователя
amon в сообщении #1196900 писал(а):
fred1996 в сообщении #1196848 писал(а):
Не понимаю в чем проблема.
Ваши сдвинутые окружности на плоскости при проектировании перейдут в довольно хитрые кривые на сфере, а если Вы попробуете на сфере "разогнуть" их в окружности, то на плоскости получите хитрые кривые. Т.е. ответ в такой постановке зависит от формы контактов, а сделать контакты точечными нельзя.


Мне даже неудобно как-то напоминать свойства стереографической проекции.

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение04.03.2017, 00:13 
Аватара пользователя
fred1996 в сообщении #1196922 писал(а):
Мне даже неудобно как-то напоминать свойства стереографической проекции.
Эт я не подумав ляпнул, виноват. Окружности перейдут в окружности, сдвинутся центры, и далее - по тексту.

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение04.03.2017, 00:17 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #1196624 писал(а):
fred1996
А напишите-ка правильно уравнение Лапласа на сфере. А то я засомневался.


Попробую расшифровать глубину вашей мысли.
Итак, чем отличается распределение потенциала на сфере от аналогичного от двух точечных зарядов в 3D но на той же сфере?
Я думаю в том, что в пространственной задаче у нас чистый Лаплас, а на сфере уже немножко Пуассон, но Пуассон, который в ближайшем рассмотрении все-равно Лаплас.
То есть от двух зарядов в 3D на сфере поле не тангенциально поверхности этой сферы. Но кто-то удерживает ток от утекания со сферы. А это перераспределение тока в тонком пограничном слое так, что у нас появляется пространственный заряд но с радиальной дивиргенцией. Этот заряд создает компенсирующее поле, и радиальная компонента в уравнении Пуассона полностью компенсируется правой частью.
Сокращаем их и получаем совершенно легальный Лаплас на сфере.
Вот, попутно разобрался где наврал в предыдущем рассуждении о потенциале в 3D.

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение04.03.2017, 00:40 
Аватара пользователя
В общем, это математически формулируется совсем иначе. Но отдалённо верно.

 
 
 
 Re: Распределение поверхностного тока на сфере
Сообщение04.03.2017, 00:45 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #1196941 писал(а):
В общем, это математически формулируется совсем иначе. Но отдалённо верно.


Извините, 40 лет не брал в руки шашки. :D

 
 
 [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group