Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const

[reptiloid]

А можно ли выразить производную от функции Динамо как комбинацию элементарных функций и самой функции Динамо?

[SharkAV]

reptiloid в сообщении #1196669 писал(а):

А можно ли выразить производную от функции Динамо как комбинацию элементарных функций и самой функции Динамо?

Конечно, это будет что-то вроде

$$ \frac{d\mathrm{Din}\,a}{da} = \frac{1}{1-\sqrt{1-\mathrm{Din}^2\,a}} $$

[reptiloid]

SharkAV
А не так
$a = asin(x) - x$
$a' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 1$
$x'=Din(a)'=\frac{1}{a'}=\frac{1}{-1+\frac{1}{\sqrt{1-Din^2a}}}$

[Munin]

Задача: доказать, что это одно и то же :-)

[reptiloid]

Munin
Отличаются на единичку

[reptiloid]

Вообще, у производной получается 2 выражения
От 0 до $\pi/2-1$ - по приведённому выражению, а дальше будет плюс в знаменателе, так как $a=acos(x)-x$, и ближе к $2\pi$ снова минус.
Как-то объединить это можно?

[VPro]

Поскольку к новой "элементарной" функции ${\rm Din}(x)$ проявлен интерес, укажу пример ее применения.
Лет 20 назад я придумал один способ измерения гравитационного взаимодействия с помощью механического устройства. Предложил, выписал уравнения, даже построил опытный образец и забросил его. Других дел много, да и не физик я. Так что, это первая публикация на эту тему.

Подпружиненный обратный маятник для измерения гравитации.

Известны два механических устройства для этий цели: крутильные весы Кавендиша и физический маятник. Они отличаются тем, что зависимость отклонения от силы - линейная.
Предложенное устройство обладает гораздо больше чувствительностью. Оно состоит из перевернутого, шарнирно закрепленного на неподвижном основании маятника. В точке опоры на маятник действует угловая линейная пружина, ее момент $Kx$, где $x$- угол отклонения от вертикали. Вот схема:



Уравнение предложенного маятника

$$ml^2\ddot x +Kx-mgl\sin x=Fl$$

Здесь $F$-измеряемая гравитационная сила. Основная фишка в том, что коэффициент упругости $K$ полагается в точности равным $mgl$. Тогда получим

$$\ddot x +\frac{g}{l}(x-\sin x)=\frac{F}{ml},\quad $$

.
Упругий момент $\frac{g}{l}(x-\sin x)$ нелинеен и в первом приближении равен $\frac{g}{6l}x^3$. То есть, угловой отклик системы на усилие повышается на 3 порядка. А точное значение положение равновесия как раз и определяется уравнением Динамо: $x-\sin(x)=a$, где $a=\frac{F}{mg}$.

[guryev]

Раз функция $\rm Din(x)$ периодическая, отчего бы не разложить её в ряд Фурье...

Поскольку она нечётная, разложение будет содержать только синусы. Обозначим $n$-й коэффициент Фурье через $b_n$, тогда

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\rm Din(x)\sin{nx}\,dx$$

(Берём интеграл)

- cинус под дифференциал, и расписываем интеграл по частям:

$$b_n=-\frac{1}{\pi{n}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\rm Din(x)d(\cos{nx})=-\frac{1}{\pi{n}}\rm Din(x)\cos{nx}\bigg|_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{\pi{n}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos{nx}\,d(\rm Din(x))$$

Поскольку $\rm Din(-\pi)=\rm Din(\pi)=0$, первое слагаемое равно нулю. Разбираемся со вторым.
По условию,

$$\rm Din(x)=\sin(x+\rm Din(x))$$

Обозначим

$$t=x+\rm Din(x)$$

Тогда $\rm Din(x)=\sin{t}$ и $x=t-\rm Din(x)=t-\sin{t}$. Делаем в интеграле подстановку $x=t-\sin{t}$, тогда $\rm Din(x)$ превращается в $\sin{t}$, пределы интегрирования не меняются:

$$b_n=\frac{1}{\pi{n}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nt-n\sin{t})\cos{t}\,dt=\frac{2}{\pi{n}}\int\limits_{0}^{\pi}\cos(nt-n\sin{t})\cos{t}\,dt,$$

т.к. подынтегральная функция чётная. Поскольку $\cos a\,\cos b=\frac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b))$, интеграл равен

$$\frac{1}{n}\Bigl(\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\cos((n+1)t-n\sin{t})dt+\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\cos((n-1)t-n\sin{t})dt\Bigr)$$

Два интеграла в скобках равны функциям Бесселя $J_{n+1}(n)$ и $J_{n-1}(n)$ соответственно.
Пользуемся тем, что $J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)=\frac{2n}{x}J_n(x)$

и получаем

$$b_n=2\frac{J_n(n)}{n},$$

Где $J_n$ - $n$-я функция Бесселя $J$.
Итак, $\rm Din(x)$ выражается через паршиво сходящийся ряд:

$$\rm Din(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}2\frac{J_n(n)}{n}\sin{nx}$$

[Munin]

Вот чем плохо писать \rm: все буковки в хвосте формулы портятся.

[guryev]

(Оффтоп)

Уже не исправить, увы...

[kotenok gav]

А в ряд Тейлора как эта функция раскладывается?

[kotenok gav]

Неопределенный интеграл функции Динамо.

$$S=\int \operatorname{Din}(x) dx$$

Подставим $t=x+\operatorname{Din}(x)$. Тогда $\operatorname{Din}(x)=\sin{t}$ и $x=t-\operatorname{Din}(x)=t-\sin{t}$.

$$S=\int \sin{t}(1-\cos{t}) dt=\int \sin{t} dt - \int \sin{t}\cos{t} dt=-\cos{t}-\frac{\sin^2{t}}{2}=-\cos{(x+\operatorname{Din}(x))}-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2}= \\ =\begin{cases} \sqrt{1-\sin^2 {(x+\operatorname{Din}(x))}},&\text{если $(2k-1)\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\ 0,&\text{если $x+\operatorname{Din}(x)=(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$ или $2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\ -\sqrt{1-\sin^2 {(x+\operatorname{Din}(x))}},&\text{если $2k\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$.} \end{cases}- \\ -\operatorname{Din}^2 (x)\cdot \frac{1}{2}= \\ =\begin{cases} \sqrt{1-\operatorname{Din}^2(x)}-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2},&\text{если $(2k-1)\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\ -\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2}=-\frac{\sin^2{((2k+1)\pi+\frac{\pi}{2})}}{2}=-0.5,&\text{если $x+\operatorname{Din}(x)=(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$ или $2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\ -\sqrt{1-\operatorname{Din}^2(x)}-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2},&\text{если $2k\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$.} \end{cases}$$

[kotenok gav]

Исправление:
Неопределенный интеграл функции Динамо.

$$S=\int \operatorname{Din}(x) dx$$

Подставим $t=x+\operatorname{Din}(x)$. Тогда $\operatorname{Din}(x)=\sin{t}$ и $x=t-\operatorname{Din}(x)=t-\sin{t}$.

$$S=\int \sin{t}(1-\cos{t}) dt=\int \sin{t} dt - \int \sin{t}\cos{t} dt=-\cos{t}-\frac{\sin^2{t}}{2}=-\cos{(x+\operatorname{Din}(x))}-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2}= \\ =\begin{cases} -\sqrt{1-\sin^2 {(x+\operatorname{Din}(x))}},&\text{если $(2k-1)\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\ 0,&\text{если $x+\operatorname{Din}(x)=(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$ или $2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\ \sqrt{1-\sin^2 {(x+\operatorname{Din}(x))}},&\text{если $2k\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$.} \end{cases}- \\ -\operatorname{Din}^2 (x)\cdot \frac{1}{2}= \\ =\begin{cases} -\sqrt{1-\operatorname{Din}^2(x)}-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2},&\text{если $(2k-1)\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\ -\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2}=-\frac{\sin^2{((2k+1)\pi+\frac{\pi}{2})}}{2}=-0.5,&\text{если $x+\operatorname{Din}(x)=(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$ или $2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\ \sqrt{1-\operatorname{Din}^2(x)}-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2},&\text{если $2k\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$.} \end{cases}$$

[kotenok gav]

Кстати, интересный вопрос возник. Можно ли через $\operatorname{Din}()$ выразить решение уравнения $\sin(x)=ax+b$?

[Pphantom]

(Оффтоп)

Изобретению велосипеда для решения уравнения Кеплера исполнилось три года...