Циркуляция ВП по Стоксу не совпадает с вычисленной вручную

[XpucToc]

Воображаю, как я вам надоел (с)
Это последняя задача, с которой у меня проблемы. Модератор сказал разбить вопрос на две части (первая часть тут).
Собственно, дан треугольник, заданный плоскостью -x+2y+2z-4=0. Найти циркуляцию векторного поля методом Стокса и
непосредственно. График:


Собственно, начал решать. Так как у условии не сказано о направлении обхода, выбрал его положительным (против часовой стрелки). Сначала метод Стокса:
$C=\underset{L}{\oint}P(x.y.z)dx=\underset{\sigma}{\iint}(\operatorname{rot}\overline{F}\cdot \overline{n_{0}})$

$\operatorname{rot}\overline{F}=\left (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right )\overline{i}+\left (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right )\overline{j}+\left (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )\overline{k}=\left (-\frac{\partial (x+z))}{\partial z} \right )\overline{i}+(0-0)\overline{j}+\left (\frac{\partial (x+z)}{\partial x}\right )\overline{k}=-\overline{i}+0\overline{j}+\overline{k}$

Вектор: $\overline{n}=(-1,2,2)$

Единичный вектор: $\overline{n_{0}}=\frac{\overline{n}}{\left |\overline{n} \right | }= \frac{-\overline{i}+0\overline{j}+\overline{k}}{\sqrt{9}}=-\frac{1}{3}i+\frac{2}{3}k$

Произведение ротора на единичный вектор: $\operatorname{rot}\overline{F}\cdot \overline{n_{0}}=-1(-\frac{1}{3})+1\cdot\frac{2}{3}=1$

Так как в данном случае $ C=\underset{ABC}{\iint}d(ABC)$, достаточно лишь найти площадь треугольника $ABC $- это и будет искомой циркуляцией. Нашёл векторы треугольника:

$\overline{AB}=(4,0,2) \overline{AC}=(4,2,0)$

Нашёл векторное произведение:
$\overline{AB}\times \overline{AC}=\overline{C}=\begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k}\\ 4 & 0 & 2\\ 4 & 2 & 0 \end{vmatrix}=(-4,8,8)$

Длину полученного вектора:
$\left |\overline{C} \right |=\sqrt{144}=12$

Площадь треугольника:
$S=\frac{1}{2}12=6$

Ну и циркуляцию:
$\frac{3}{2}6=9$
Таким образом, получается, что по Стоксу циркуляция равна 9 ед. Правильно?

А вот с непосредственным вычислением у меня проблемы. Каким бы способом не решал, упорно вылезает $-6$ (иногда $-4$).

Приведу два примера решений. Я поменял буквы у треугольника (чтобы не запутаться при вычислении циркуляции на каждом фрагменте чертежа):

Поехали:
Способ 1.
$C=\underset{ABCA}{\oint }(x+z)dy=C_{AB}+C_{BC}+C_{CA}$

С $C_{AB}$ небольшая проблема, пока пропущу. Уравнение прямой: $\frac{x+4}{4}=\frac{z}{2},z=\frac{x+4}{2}$

$C_{BC}:x=0\Rightarrow \underset{BC}{\int }(z)dy$

Выражаю $z: -\frac{z-2}{2}=\frac{y}{2},z=-y-2$
Получаю интеграл: $-\int_{0}^{2}(y+2)dy=-6$

Для $C_{CA}:z=0\Rightarrow \underset{CA}{\int }(x)dy$
Выражаю $x: -\frac{y-2}{2}=\frac{x}{4},x=2y-4$
Интегрирую $\int_{0}^{2}(2y-4)dy=-4$

Собственно, проблема с $AB $в том, что $y=0$ и через него нельзя выразить ни $x$, ни $y$. Что я делаю не так?

Промучившить какое-то время с таким методом решения, я решил попробовать по-другому:
Способ 2.
$\underset{L}\int =\underset{AB}\int(x+z)dy+\underset{BC}\int(x+z)dy+\underset{CA}\int(x+z)dy$

На контуре $AB: z=0$
$\left\{\begin{matrix} -4<x<0\\ \frac{1}{2}x+2<y<0 \end{matrix}\right. z=\frac{1}{2}x+2

\int_{-4}^{0}(x+\frac{1}{2}x+2)dx=0$

На контуре $BC: x=0$
$z=-y+2 \int_{0}^{2}(-y+2)dy=2$

На контуре $CA: y=0$
$x=\frac{1}{2}z+2 \int_{-4}^{0}(z+\frac{1}{2}z+2)dz=12$

И всё равно получается ерунда.

Вопрос такой: есть ли ошибка в вычислении по методу Стокса и как правильно вычислить непосредственно? Пробовал решить ещё парой методов, тоже толком ничего не выходит.

Буду очень благодарен за подсказки.

[XpucToc]

Перечитал теорию, прорешал заново - получил 6. Кажется, ошибка вот тут:

XpucToc в сообщении #1196698 писал(а):

$\frac{3}{2}6=9$

Непонятно, откуда появились $\frac{3}{2}$ (скорее всего, перепутал черновики и перетащил их из прошлой задачи). Интеграл по $ABВ$ равен $0$ (т. к. $y=0, dy=0$), по $BC=2$, по $CA=4$. В сумме получил $6$. Кто бы взглянул? :)

-- 03.03.2017, 12:37 --

Да, теперь я почти уверен, что на этот раз решил всё правильно. Решение - на лист A4 мелким почерком, смогу выложить часа через 2, если будет нужно.

[XpucToc]

Собственно:
$\underset{L}\int =\underset{AB}\int(x+z)dy+\underset{BC}\int(x+z)dy+\underset{CA}\int(x+z)dy$
Начальные условия:

Координаты точек:
$A(-4,0,0)$
$B(0,0,2)$
$C(0,2,0)$

Уравнения прямых:
$AB: \frac{x+4}{4}=\frac{z}{2},y=0 \Rightarrow dy=0$
$x=2z-4$
$z= \frac{x+4}{2}$

$BC: \frac{y}{2}= \frac{-z-2}{2},x=0\Rightarrow dx=0$
$y=-(z-2)$
$z=-(y+2)$

$CA= \frac{-x}{4}=-\frac{y-2}{-2},z=0\Rightarrow dz=0$
$x=2(y-2)$
$y=\frac{x}{2}-2$

На $AB$:
$C= \underset{AB}{\int }(x+z)dy=0$

На $BC$:
$\underset{BC}{\int }(x+z)dy=\underset{BC}{\int }zdy=\int_{0}^{2}-(y+2)dy=2$

На $CA$:
$\underset{CA}{\int }(x+z)dy=\underset{CA}{\int }xdy=\int_{2}^{0}2(y-2)dy=4$

$C=2+4=6$

Верно?