Опять про элементарные функции

[Someone]

wrest в сообщении #1196502 писал(а):

То есть функция записана формулой, содержащей только аналитические операции

А я разве упоминал слова "аналитические операции"? По-моему, я перечислил совершенно конкретный список допустимых операций, и предела в том списке не было.

[bot]

wrest, См. См Фихтенгольц, стр. 115
Ни разу Фихтенгольц не включал предел в число разрешённых операций, при порождении класса элементарных функций. Только 4 действия арифметики и суперпозиция.

[wrest]

bot в сообщении #1196510 писал(а):

Ни разу Фихтенгольц не включал предел в число разрешённых операций, при порождении класса элементарных функций.

Я этого и не утверждал. :) Но при аналитическом задании функций предел использовать можно.
Таким образом, мы видим, что утверждения
-- функция может быть задана аналитически
-- функция выражается через элементарные в конечном виде
Это разные утверждения.

Напомню вопрос, который задал ТС в оригинальном топике: "Можно ли аналитически решить уравнение вида $\sin(x)=x-a$, где $a= \operatorname{const}$."

Означает ли "решить уравнение аналитически"
a) записать решение в виде функции, выраженной через элементарные в конечном виде
б) записать решение в виде формулы, использующей только аналитические операции (в том числе операцию предельного перехода)
?

[Dmitriy40]

bot в сообщении #1196510 писал(а):

Только 4 действия арифметики и суперпозиция.

О! Вот это мне нравится. Ну возможно ещё с арифметическим корнем. Остальное же - рядами, рядами.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1196526 писал(а):

О! Вот это мне нравится. Ну возможно ещё с арифметическим корнем.

Корень туда уже входит. Имеются в виду арифметические операции с классами элементарных функций которых у Фихтенгольца 7, в том числе 1) целые и дробные многочлены 2) степени (включая корни) 3) показательные функции 4) логарифмы 5) синусы, косинусы, тангенсы и т.п. 6) гиперболические синусы, косинусы и т.п. 7) обратные тригонометрические -- арксинусы, аркксосинусы и т.п.

[Someone]

Dmitriy40 в сообщении #1196526 писал(а):

Ну возможно ещё с арифметическим корнем.

Корень входит в число основных элементарных функций, поскольку является частным случаем степенной функции, так что упоминать его ещё и как "операцию" не следует.

Dmitriy40 в сообщении #1196390 писал(а):

Спасибо всем за напоминание элементарности функций, как-то сбилось понятие в голове.

Опять сбилось?

wrest в сообщении #1196525 писал(а):

Но при аналитическом задании функций предел использовать можно.

Видите ли, понятие "аналитического выражения" несколько неопределённо. Мы можем как угодно определить какую-нибудь функцию, придумать для неё обозначение и использовать его в аналитических выражениях.
Кстати, если Вы включили пределы, то автоматически включаются производные и интегралы, поскольку это тоже пределы. И всевозможные ряды, ибо их суммы — тоже пределы. Да и Фихтенгольц явно говорит о том, что пределами дело далеко не заканчивается…

Между прочим, в ТФКП функции, локально представимые суммой степенного ряда, называются аналитическими.

wrest в сообщении #1196529 писал(а):

Имеются в виду арифметические операции с классами элементарных функций которых у Фихтенгольца 7, в том числе 1) целые и дробные многочлены 2) степени (включая корни) 3) показательные функции 4) логарифмы 5) синусы, косинусы, тангенсы и т.п. 6) гиперболические синусы, косинусы и т.п. 7) обратные тригонометрические -- арксинусы, аркксосинусы и т.п.

Ну, этот список несколько избыточен, поскольку многочлены и рациональные функции выражаются через степени и арифметические операции, гиперболические функции выражаются через показательную функцию и арифметические операции, а обратные гиперболические — через логарифм, степени и арифметические операции.

[Dmitriy40]

(Someone)

Someone в сообщении #1196533 писал(а):

Опять сбилось?

Не, теперь скорее стёб. Ну нравится мне такое ограничение понятия элементарных функций, хоть и понимаю что неправильно. Не математик, мне простительно, обещаю нигде никого не агитировать.

[Munin]

Someone
В любом случае, вы можете объяснить, чем интересен такой класс функций?

[wrest]

Someone в сообщении #1196533 писал(а):

Ну, этот список несколько избыточен, поскольку многочлены и рациональные функции выражаются через степени и арифметические операции, гиперболические функции выражаются через показательную функцию и арифметические операции, а обратные гиперболические — через логарифм, степени и арифметические операции.

Вот так вот Фихтенгольц пишет. Вероятно для удобства.

Someone в сообщении #1196533 писал(а):

Кстати, если Вы включили пределы, то автоматически включаются производные и интегралы, поскольку это тоже пределы.

Это не я включил, а Фихтенгольц :)
Да, я думаю производные (вернее, операцию дифференцирования) -- можно смело включать. Насчет интегралов и рядов не вполне уверен, но по-видимому, тоже можно.

Someone в сообщении #1196533 писал(а):

Видите ли, понятие "аналитического выражения" несколько неопределённо.

Совершенно согласен, и согласен с постом где предлагается определить функцию din(x) и заявить после этого, что "аналитическое решение имеется". Есть же гамма-функция, функции Бесселя и т.п., определенные таким вот образом (т.е. раз они часто применяются, то назовем их как-нибудь, и включим в функции, задаваемые аналитически).

[Aritaborian]

wrest в сообщении #1196558 писал(а):

Да, я думаю производные (вернее, операцию дифференцирования) -- можно смело включать. Насчет интегралов и рядов не вполне уверен, но по-видимому, тоже можно.

Производная элементарной функции всегда будет элементарной функцией (с модулем только закавыка). Совсем иное дело интеграл.

[wrest]

Aritaborian в сообщении #1196565 писал(а):

Производная элементарной функции всегда будет элементарной функцией (с модулем только закавыка).

Раз есть хотя бы одна закавыка, значит уже не всегда :)
Интегралы кстати, в смысле непрерывности, гораздо лучше себя ведут.

[Anton_Peplov]

wrest в сообщении #1196574 писал(а):

Раз есть хотя бы одна закавыка

Заковыку можно убрать, заявив, что производная элементарной функции является элементарной функцией на всех промежутках своего существования.

wrest в сообщении #1196574 писал(а):

Интегралы кстати, в смысле непрерывности, гораздо лучше себя ведут.

Интегралы от элементарных функций вообще обладают всеми их хорошими свойствами (просто потому, что первые производные от них - элементарные функции), но почему-то в этот класс не включены. Что наглядно демонстрирует искусственность выделения этого класса.

[Someone]

Aritaborian в сообщении #1196565 писал(а):

Производная элементарной функции всегда будет элементарной функцией (с модулем только закавыка).

Нет там никакой закавыки: $\lvert x\rvert'=\frac x{\lvert x\rvert}$.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1196578 писал(а):

Интегралы от элементарных функций вообще обладают всеми их хорошими свойствами (просто потому, что первые производные от них - элементарные функции), но почему-то в этот класс не включены. Что наглядно демонстрирует искусственность выделения этого класса.

Класс функций, сводящихся к интегралам от элементарных, называется "квадратуры". Ну т. е. "решить уравнение в квадратурах" означает "свести ответ к конечному числу интегралов от элементарных функций".

[Someone]

(Dmitriy40)

Dmitriy40 в сообщении #1196545 писал(а):

Someone в сообщении #1196533 писал(а):

Опять сбилось?

Ну нравится мне такое ограничение понятия элементарных функций, хоть и понимаю что неправильно.

bot ни о каком ограничении понятия элементарной функции не говорил. Он говорил, что Фихтенгольц в своём определении тоже упоминает только четыре арифметических операции и суперпозицию.
Так что явно у Вас опять что-то сбилось. Ещё раз внимательно перечитайте определение.