Nicholas писал(а):
Исправил свои ошибки

Помогите, пожалуйста, с геометрией

Я поначалу через координаты стал решать. Причём сначала подумал, что координаты лучше не прямоугольные брать, но потом передумал. Всё-таки призма правильная, в основании квадрат, все углы прямые.
Имеем следующие координаты точек и векторов:

;

;

;

;

;

;

.
Теперь пусть

--- это длина стороны квадрата, лежащего в основании искомой правильной призмы. Пусть также

--- вектор, проведённый из начала координат в точку, являющуюся одной из вершин призмы (не произвольную, а некоторую точку). Тогда вершины призмы имеют координаты:

,

,

,

,

,

,

,

.
Теперь надо записать условие, которое говорит, что все эти восемь точек лежать на поверхности тетраэдра. Ну и отсюда найти

.
Бр-р-р... Я, конечно, согласен с тем, что это выполнимо, но выглядит как-то малореалистично. О ужас! Координаты тут всё-таки ваще не к месту.
А без координат задача тоже противно очень выглядит. То есть интуитивно понятно, конечно, как эта призма должна располагаться. Но вот доказывать, что расположение обязано быть именно таким и никаким другим --- тоже задача не из приятных!
Короче: езжайте лучше к нам в Новосибирск и поступайте в НГУ. У нас стереометрия на вступительных... нет, не проще, но не такая муторная.