Решение заданий вступительных испытаний (СПбГУ Мат-Мех)

[Nicholas]

Никто не против, если я так тему назову?

№1
(№4, вар.1. http://www.math.spbu.ru/ru/mmeh/PRIEM2007/tasks/quest_day.pdf)

Все вершины правильной четырехугольной призмы лежат на поверхности тетраэдра ABCD, ребра которого равны 2. При этом AB и CD параллельны ребрам основания призмы. Найти высоту призмы, если известно, что она в два раза короче каждого из ребер основания призмы.


№2
(№2, вар.1 http://www.math.spbu.ru/ru/mmeh/PRIEM2006/tasks/quest_day06.pdf)
Решить уравнение $\sqrt{ \frac {x^2-3x+2} {x^2+2x}} = 1+x $.
А тут просто идея нужна. Если все возводить в квадрат, то получается 4ая степень, которую не могу решить; А заменить что-либо не получается

[T-Mac]

Замена переменной!!!
$ z=x-2 , a=x^2+2x $

[Jnrty]

Nicholas, имеются следующие замечания по поводу Вашего сообщения.
1) Не злоупотребляйте всякими выделениями, в особенности цветом и размерами букв. В правилах про это сказано.
2) Никто ничего Вам не распишет, в особенности "поподробнее", если Вы сами не продемонстрируете свои попытки решения, поскольку правила этого форума это запрещают.
Про формулы Вы сами догадались.

[Nicholas]

Исправил свои ошибки
Помогите, пожалуйста, с геометрией

[T-Mac]

Построить не пробовали?

[Профессор Снэйп]

Nicholas писал(а):

Исправил свои ошибки
Помогите, пожалуйста, с геометрией

Я поначалу через координаты стал решать. Причём сначала подумал, что координаты лучше не прямоугольные брать, но потом передумал. Всё-таки призма правильная, в основании квадрат, все углы прямые.

Имеем следующие координаты точек и векторов:

$A = (0,0,0)$;
$B = (2,0,0)$;
$C = (1, \sqrt{3},0)$;
$D = (1, 1/\sqrt{3}, 2\sqrt{2}/\sqrt{3})$;
$u = \overrightarrow{AB}/2 = (1,0,0)$;
$v = \overrightarrow{CD}/2 = (0, -1/\sqrt{3}, \sqrt{2}/\sqrt{3})$;
$w = - u \times v = (0, \sqrt{2}/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$.

Теперь пусть $a$ --- это длина стороны квадрата, лежащего в основании искомой правильной призмы. Пусть также $r = (x,y,z)$ --- вектор, проведённый из начала координат в точку, являющуюся одной из вершин призмы (не произвольную, а некоторую точку). Тогда вершины призмы имеют координаты: $r$, $r+au$, $r+av$, $r + a(u+v)$, $r+ aw/2$, $r+au+aw/2$, $r+av+aw/2$, $r+a(u+v)+ aw/2$.

Теперь надо записать условие, которое говорит, что все эти восемь точек лежать на поверхности тетраэдра. Ну и отсюда найти $a$.

Бр-р-р... Я, конечно, согласен с тем, что это выполнимо, но выглядит как-то малореалистично. О ужас! Координаты тут всё-таки ваще не к месту.

А без координат задача тоже противно очень выглядит. То есть интуитивно понятно, конечно, как эта призма должна располагаться. Но вот доказывать, что расположение обязано быть именно таким и никаким другим --- тоже задача не из приятных!

Короче: езжайте лучше к нам в Новосибирск и поступайте в НГУ. У нас стереометрия на вступительных... нет, не проще, но не такая муторная.

[Nicholas]

=) Спасибо

[T-Mac]

Здесь на самом деле попроще
Нужно провести сечение паралельное двум ребрам(понятно, что скрещивающимся) и в нем по условию дололжно лежать основание призмы

[Профессор Снэйп]

Nicholas писал(а):

=) Спасибо

Кому? Если мне, то совершенно не за что. Я Вам какой-то дурацкий способ начал советовать, да к тому же и сам не дорешал им до конца.

Добавлено спустя 8 минут 51 секунду:

T-Mac писал(а):

Здесь на самом деле попроще
Нужно провести сечение паралельное двум ребрам(понятно, что скрещивающимся) и в нем по условию дололжно лежать основание призмы

Я вот что-то вообще не могу понять: информация о том, что высота призмы в два раза меньше стороны основания --- она здесь лишняя или нет?

[T-Mac]

Нет далее при решении дололжна пригодится

Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд:

Вообще сколько решал задач нашего матмеха ни разу не встречал лишних данных

[Батороев]

Для решения геометр. задачи, как мне кажется, необходимо рассмотреть два равнобедренных треугольника с основанием $ 2 $ и боковыми сторонами $ \sqrt{3}$, совмещенных в параллелограмм по короткой стороне.
В один из треугольников вставляем квадрат, а в другой - прямоугольник.
Теперь задача сводится к нахождению таких квадрата и прямоугольника, чтобы:
1. Длинные стороны прямоугольника были параллельны основанию $2$, лежали на одних прямых со сторонами квадрата и были равны удвоенной высоте (высота квадрата и прямоугольника равны).
2. Одна из длинных сторон прямоугольника касалась боковых сторон своего равнобедренного треугольника, а вторая длинная сторона лежала на одной прямой со стороной квадрата, которая касалась бы боковых сторон своего треугольника.

Тьфу, оказывается я нашел не то решение, которое нужно, а для того случая, когда бы основание призмы было параллельно лишь одному из указанных ребер тетраэдра, но перпендикулярно другому.

Для рассматриваемой задачи в указанных равнобедренных треугольниках необходимо рассмотреть два одинаковых прямоугольника, длинные стороны которых симметричны и параллельны средней линии треугольников, имеют отношение сторон $1:2$ и касаются боковых сторон треугольника одной из своих длинных сторон.

[ИвановЭГ]

Nicholas писал(а):

А тут просто идея нужна. Если все возводить в квадрат, то получается 4ая степень, которую не могу решить

А что там, корни могут быть равными -1,1,-2,2 проверить например методом Горнера, а потом разложить на множители!к тому же -1 и -2 не входят в одз!

[bot]

Nicholas писал(а):

А тут просто идея нужна.

Вот 2 копейки:
1) при $x\geqslant 2$ ясно, что $0\leqslant \frac {x^2-3x+2} {x^2+2x}\leqslant 2$ и левая часть меньше правой.
2) при $x\leqslant 2$ есть только один промежуток, в котором правая часть и подкоренное выражение положительны - это (0; 1)
3) в промежутке (0; 1) числитель подк. выр-я убывает, знаменатель растёт, стало быть левая часть убывает, а правая растёт. При переходе с левого конца на правый меняется знак неравенства между ними => корень единственен и лежит в (0; 1).

Дальше не думал, сводить к 4-й степени неохота. Сводить к системе из двух уравнений?
Что-то сходу не вижу, чтобы замена, которую предлагает T-Mac была плодотворна. Конечно $x^2+2x$ сразу в двух местах прёт в глаза, но вот остальное ... - корявая система получается.

[T-Mac]

Нужно сначала возвести в квадрат а потом использовать мою замену
получится следующие $(x-1)(x-2)=(x^2+2x)(x^2+2x+1)$
далее замена переменной
$(a+1)a=b(b+1); a^2+a=b^2+b$
Далее все просто

[bot]

А-а, ясно - либо a=b либо на a-b сокращаем. В любом случае - квадратное уравнение. А я и в квадрат-то поленился возвести.