Распределение поверхностного тока на сфере

[fred1996]

Пусть у нас есть проводящая однородная сфера радиусам $R$, через которую протекает ток $I$ как показано на рисунке.
То есть втекает через очень маленькую круговую площадку на северном северный полюсе, а вытекает через такую же площадку на экваторе.
Надо вычислить плотность поверхностного тока $\overrightarrow J(\varphi,\theta)$ как функцию в сферических координатах.

[Munin]

Думаю, надо разложить на две задачи:
1) Втекает на северном полюсе, вытекает равномерно по всей поверхности.
2) Втекает равномерно по всей поверхности, вытекает на экваторе.

-- 28.02.2017 18:38:47 --

Для 1-й задачи: через параллель $\theta$ протекает ток, равный $S_\text{под \(\theta\)}/S_\text{всей сферы}.$
Как-то даже ни одного интеграла взять не надо...

[fred1996]

Инетерсная идея.

Я тоже разбил задачу на две, правда другие.
И тоже без интегралов.
Задачку подсмотрел в Кванте.
Но там предложен частный случай.
А мне захотелось ее в общем виде решить.
Точки я задал просто для определенности, как в Кванте.
На самом деле можно взять две любые точки.

[AnatolyBa]

Munin в сообщении #1196068 писал(а):

1) Втекает на северном полюсе, вытекает равномерно по всей поверхности.

Очень красиво, я не додумался

fred1996 в сообщении #1196097 писал(а):

Я тоже разбил задачу на две, правда другие.

А вы как разбили?
Или подождем пока с вашей версией?

[fred1996]

Давайте подождем.
Моя версия более стандартная и возможно на "олимпиадность" не тянет.

[Munin]

Не знаю, какое ещё разбиение позволяет посчитать произвольные две точки. Разве что, втекание равномерно по одному меридиану (полный круг). Но кажется, это непросто посчитать.

Можно "втекать" по линии симметрии. Но как это сделать простым расчётом - не знаю.

-- 28.02.2017 22:24:56 --

AnatolyBa в сообщении #1196099 писал(а):

Очень красиво, я не додумался

Мелкое достижение, но приятно слышать такие отзывы! :-)

[fred1996]

Munin в сообщении #1196122 писал(а):

Не знаю, какое ещё разбиение позволяет посчитать произвольные две точки. Разве что, втекание равномерно по одному меридиану (полный круг). Но кажется, это непросто посчитать.
Можно "втекать" по линии симметрии. Но как это сделать простым расчётом - не знаю.

Втекание и вытекание, это ваша конструктивная идея.
Я ее совсем не эксплуатирую в моем решении.

[fred1996]

Я, конечно, могу дать подсказку.
Но тогда всем станет стыдно.
А мне будет неудобно.

А может наоборот...

[dovlato]

У меня идея ровно такая же - "растекание", как описал Munin. Но дальше у меня не хватило ни ума ни силы воли.

[fred1996]

(подсказка для слабовольных)

А что, у нас конформные отображения только математики помнят?

[Munin]

Я сдаюсь. (Но стыдиться не собираюсь, потому что свой вариант предложил, мне кажется, рабочий.)

-- 01.03.2017 14:18:54 --

fred1996 в сообщении #1196218 писал(а):

А что, у нас конформные отображения только математики помнят?

А, вот с этой математикой я не дружу, и поэтому предложить не мог. Зато мой метод работает на $n$-мерной сфере :-) И даже на платоновых телах.

[fred1996]

Munin в сообщении #1196220 писал(а):

Я сдаюсь. (Но стыдиться не собираюсь, потому что свой вариант предложил, мне кажется, рабочий.)

Не, ну ваш то вариант вообще классный.
Я вот все голову ломаю, как-бы его еще куда присобачить.

[AnatolyBa]

Конформные отображения?
А как вы координаты на сфере задаете, чтобы получился красивый лапласиан?
А если лапласиан некрасивый, то нужны какие-то модифицированные отображения, или как?

[fred1996]

AnatolyBa в сообщении #1196230 писал(а):

Конформные отображения?
А как вы координаты на сфере задаете, чтобы получился красивый лапласиан?
А если лапласиан некрасивый, то нужны какие-то модифицированные отображения, или как?

Координаты берем обычные сферические.
Изначально точки располагаем в северном $O'$ и южном полюсе $O$ и строим прямую стереографическую проекцию. Все линии тока превращаются в прямые, пересекающиеся в одной точке, а эквипотенциальные кривые, это соответственно концентрические окружности.
Затем на плоскости делаем сдвиг так чтобы точка $O$ уехала куда надо в $E$. В данном конкретном случае на два радиуса вправо.
Ну и делаем обратную стереографическую проекцию на шар. Чтобы $E$ спроецировалась в нужную точку $A$. Линии тока опять переходят в окружности на сфере, а эквипотенциальные кривые в перпендикулярные им окружности.

[Munin]

Да, настолько просто - это я мог бы и догадаться. Увы, у меня интуиция на это дело не развита.