Нахождение работы сил трения

[Rusit8800]

Задача 2. Поперек шоссе лежит бревно массой $m$ и длиной $L$. Чтобы освободить дорогу, его пытаются перетащить на траву, прикладывая силу вдоль бревна. Бревно перетащили наполовину длины. $\[{\mu _1},{\mu _2}\]$ - коэффициенты трения об асфальт и траву соответственно. Какая работа была совершена?

Решение.
Аналогично, как и в прошлой задаче, силы трения не постоянны, но можно найти их работы, считая площади под графиком:

$$\[{A_{{F_1}}} = \left| {{S_1}} \right| = \frac{{\frac{1}{2}{\mu _1}mg + {\mu _1}mg}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{2} = \frac{9}{{16}}{\mu _1}mgL\]$$

$$\[{A_{{F_2}}} = \left| {{S_2}} \right| = \frac{1}{2}{\mu _2}mg \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{2} = \frac{1}{8}{\mu _2}mgL\]$$

Вся работа $A$ равна:

$$\[A = {A_{{F_1}}} + {A_{{F_2}}} = \frac{9}{{16}}{\mu _1}mgL + \frac{1}{8}{\mu _2}mgL = \frac{{11}}{{16}}mgL({\mu _1} + {\mu _2})\]$$

-- 19.02.2017, 16:51 --

Результат вообще говоря должен быть меньше, так как если полностью передвинуть бревно, то ответ будет $\[\frac{1}{2}mgL({\mu _1} + {\mu _2})\]$

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1194151 писал(а):

Чтобы освободить дорогу, его пытаются перетащить на траву, прикладывая силу вдоль бревна. Бревно перетащили наполовину длины.

Бревно надо катить!

[Rusit8800]

Munin в сообщении #1194154 писал(а):

Бревно надо катить!

Вдоль дороги?

[Munin]

Поперёк бревна!

А то, что бревно при этом можно легко повернуть, и катить в нужную сторону, каждый ребёнок знает.

[DimaM]

Rusit8800
В первом уравнении $\dfrac{3}{8}$ каким-то образом превратились в $\dfrac{9}{16}$, а последнее уравнение вообще ни в какие ворота не лезет .

[Aritaborian]

Rusit8800, судя по последнему уравнению, вы полагаете, что сложив, к примеру, $2a$ и $3b$, мы получим $5(a+b)$

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1194262 писал(а):

последнее уравнение вообще ни в какие ворота не лезет .

Aritaborian в сообщении #1194266 писал(а):

судя по последнему уравнению, вы полагаете, что сложив, к примеру, $2a$ и $3b$, мы получим $5(a+b)$

Ой

-- 21.02.2017, 17:48 --

DimaM в сообщении #1194262 писал(а):

В первом уравнении $\dfrac{3}{8}$ каким-то образом превратились в $\dfrac{9}{16}$

Я очень туплю, но разве там не $\frac{3}{{16}}$?

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1194382 писал(а):

Я очень туплю, но разве там не $\frac{3}{{16}}$?

Да, конечно, это уже я ошибся.

[Rusit8800]

Итак, работа равна

$$\[\frac{3}{{16}}{\mu _1}mgL + \frac{1}{8}{\mu _2}mgL = mgL\left( {\frac{3}{{16}}{\mu _1} + \frac{1}{8}{\mu _2}} \right)\]$$

[Aritaborian]

Изящнее и нагляднее записать это как $\frac18mgL(\frac32\mu_1+\mu_2)$.

[fred1996]

Aritaborian в сообщении #1194497 писал(а):

Изящнее и нагляднее записать это как $\frac18mgL(\frac32\mu_1+\mu_2)$.

Мне кажется, изящнее будет $\frac{\sqrt{13}}{16}mgL(\frac{3}{\sqrt{13}}\mu_1+\frac{2}{\sqrt{13}}\mu_2)$

[Aritaborian]

Но не нагляднее, по крайней мере, в данном случае ;-)

[Батороев]

DimaM в сообщении #1194408 писал(а):

Да, конечно, это уже я ошибся.

Нет, не ошиблись. У ТС записана формула половины площади трапеции.

[Rusit8800]

Батороев в сообщении #1194508 писал(а):

Нет, не ошиблись. У ТС записана формула половины площади трапеции.

Ах да, на 2 то я уже поделил. Спасибо.

-- 23.02.2017, 13:43 --

Тогда ответ будет таким

$$mgL\left( {\frac{3}{{8}}{\mu _1} + \frac{1}{8}{\mu _2}} \right)\]$$

-- 23.02.2017, 13:44 --

Ну можно вынести $\frac{1}{8}$

[asdmn]

По условию задачи, как я понял, бревно можно считать однородным, поэтому можно ввести линейную плотность $ \lambda = \frac {m (x)} {x} $ , где $ x $– координата вдоль бревна, эта же плотность равна $ \lambda= \frac {m} {L} $, где уже $ m $ и $ L $ – масса и длина бревна.

$$A_1=\int_{0}^{\frac {L}{2}} F_1 dx=\int_{0}^{\frac {L}{2}} \mu_1 g {m (x)} dx=\int_{0}^{\frac {L}{2}} \mu_1 g \lambda {x} dx=\mu_1 g \lambda \frac {L^2} {8}=\mu_1 g{m}\frac {L}{8}$$

$$A_2=\int_{\frac {L}{2}}^{L} F_2 dx=\int_{\frac {L}{2}}^{L} \mu_2 g {m (x)} dx=\int_{\frac {L}{2}}^{L} \mu_2 g \lambda {x} dx=\mu_2 g\lambda \left(\frac {L^2} {2} - \frac {L^2} {8}\right)=\mu_2 g{m}\frac {3L}{8}$$

$$A=A_1+A_2=\mu_1 g{m}\frac {L}{8}+\mu_2 g{m}\frac {3L}{8}=\frac {1} {8}g{m}{L}\left(\mu_1+ 3\mu_2\right) $$

По-моему, все честно