Бусинки на спице

[fred1996]

Пусть у нас $N$ одинаковых бусинок нанизаны на бесконечную горизонтальную спицу и могут двигаться по ней без трения. Им сообщили какие-то начальные скорости. В процессе они начинают сталкиваться абсолютно упруго. Каково максимально возможное число столкновений между ними?
Что изменится в ответе, если спица имеет уклон $\alpha$?

[Munin]

Одинаковых! В этом месте задача становится изящной. И чисто геометрической.

[AnatolyBa]

Рискну предположить $N(N-1)/2$, независимо от $\alpha$

[Munin]

Дык чё там предполагать, смелее, это и есть правильный ответ :-)

-- 14.02.2017 19:19:25 --

(Кстати, независимость от $\alpha$ видна просто из того, что его не с чем сопоставлять.)

[AnatolyBa]

Ну, я ж решения не даю. Пусть другие помучаются поработают как я тут с цилиндром поставленным на попа

[fred1996]

Munin в сообщении #1192704 писал(а):

Одинаковых! В этом месте задача становится изящной. И чисто геометрической.

Я тут специально дал эту и еще
topic115581.html
topic115552.html
Задачки на развитие "геометрического" или если хотите "кинематического" формализма. Такие навыки в дальнейшем приучают с меньшей опаской пользоваться другими формализмами.

Можно, например еще поместить бусинки на изогнутую спицу с радиусом $R$.
Пусть они все совершают малые гармонические колебания под действием силы тяжести.
Найти среднюю частоту столкновений бусинок.

Или вот такая задачка, которая уже фактически математическая.
Пусть у нас имеется $N$ бусинок, которые выстреливаются вверх по наклонной спице (угол $\alpha$ со скоростями $nv_0$, если $n$ нумерация бусинок. Выстрелы производятся из некоей начальной точки, а в дальнейшем бусинки абсолютно упруго отскакивают от этой точке обратно вверх по спице.
Определить среднюю частоту столкновений в этом рое бусинок.

[Munin]

Ссылки. А не "три последних". Темы в будущем очень сильно перемешаются, и ваш намёк не будет понятен будущим читателям.

[dovlato]

Попробую типа, решить.
0. Независимость от наклона самоочевидна.
1. При столкновении частицы меняются скоростями. Ничто не мешает нам считать, что они проходят друг друга "насквозь".
2. Самая быстрая частица пройдёт насквозь максимум $n-1$ частиц. Следующая $n-2$. И т.д.
Итого - результат, приведенный AnatolyBa. Без которого я сидел бы тупо и долго.
3. Так же можно решать и последнюю задачу, со стрельбой. Мы можем по-прежнему считать бусины проходящими друг сквозь друга.
Значит, самая быстрая из них будет, очевидно, сталкиваться со всеми остальными $n-1$ раз с интервалом $n^2T$.
Для следующей - $n-2$ соударений с интервалом $(n-1)^2T$. Ну и так далее. Складываем частоты:

$$f=\frac1{T}\sum_{k=1}^{n}\frac{k-1}{k^2}$$

Как-то так, или бред?

[Munin]

Пункты 0 и 1 правильные. А дальше можно проще.

Нарисуем пространство-время. Это плоскость. Траектории бусинок составлены из отрезков прямых, а по п. 1 получается, что это просто прямые. Столкновения - это точки пересечений прямых. Остался вопрос, каково максимальное число точек пересечения $N$ прямых. Очевидно, что это когда "каждая с каждой", и мы имеем число пар - то есть $N(N-1)/2.$

-- 16.02.2017 13:39:35 --

Пункт 0: перейдём в систему координат, ускоренную с ускорением $g\sin\alpha.$ В ней силы тяжести нет, и задача сводится к предыдущей (а параболы в пространстве-времени выправляются в прямые).

[dovlato]

Дошло. А вообще-то красотища.

[fred1996]

dovlato в сообщении #1193155 писал(а):

3. Так же можно решать и последнюю задачу, со стрельбой. Мы можем по-прежнему считать бусины проходящими друг сквозь друга.
Значит, самая быстрая из них будет, очевидно, сталкиваться со всеми остальными $n-1$ раз с интервалом $n^2T$.
Для следующей - $n-2$ соударений с интервалом $(n-1)^2T$. Ну и так далее. Складываем частоты:

$$f=\frac1{T}\sum_{k=1}^{n}\frac{k-1}{k^2}$$

Как-то так, или бред?

Поскольку все ответы и решения даны, объявляю, что начальный вариант встречается в слишком большом количестве источников. Так что можно считать эту задачу результатом народного творчества.
Ну а варианты 2 и 3 мне тут по ходу пришли в голову.
Вариант 3 это своеобразный микст первого варианта и известной задачи об N молекул газа в прямоугольном ящике, где подсчитывается разность давлений на нижнюю и верхнюю стенки ящика. Может связи и не такая прозрачная, но это чисто ассоциативная связь.

[pogulyat_vyshel]

Munin в сообщении #1192704 писал(а):

Одинаковых! В этом месте задача становится изящной. И чисто геометрической.

а она и так чисто геометрическая

[Munin]

pogulyat_vyshel
Если вы такой смелый, решите задачу для произвольных масс бусинок.

(не подглядывать)

Даже для трёх бусинок возможно сколь угодно большое число столкновений.

[pogulyat_vyshel]

Введем на спице координату $x$ и обозначим через $x_k$ координату бусины массой $m_k,\quad k=1,\ldots, N$. Таким образом, конфигурационным пространством системы является многогранник

$$A=\{(x_1,\ldots, x_N)\in\mathbb{R}^N\mid x_i\le x_{i+1},\quad i=1,\ldots, N-1\}.$$

Частица движется с постоянной скоростью внутри этого многогранника, ударяется и отлетает от стенок по закону "угол падения равен углу отражения", при этом угол понимается в смысле метрики кинетической энергии

$$T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Nm_i\dot x_i^2.$$

Факторизацией по группе симметрий $x_i\mapsto s+x_i,\quad s\in\mathbb{R}$, система сводится к бильярду в многограннике пространства $\mathbb{R}^{N-1}$. В частности, случай трех точек сводится к движению точки внутри угла расположенного на плоскости. В этом случае вопрос о максимальном числе столкновений тривиально решается с помощью метода отражений. По-видимому, задача перестает быть простой начиная с $N=4$

[Munin]

Ну, это, конечно, геометрия, но не на школьно-студенческом уровне, боюсь.