Задача на закон сохранения момента импульса

[maraul]

Здравствуйте! Нужна, пожалуйста, помощь в решении одной задачи:

"На гладкой горизонтальной поверхности лежит тонкое кольцо. На него налетает другое такое же кольцо, скользящее по поверхности со скоростью $\upsilon = 1$ м/с и вращающееся с угловой скоростью $\omega = 20$ $c^{-1}$. Найдите угловую скорость первоначально покоящегося кольца после соударения, если проскальзывание колец относительно друг друга прекращается в последний момент удара. Удар прямой."

После моих нескольких неудачных попыток преподаватель сказал, что задача решается через закон сохранения момента импульса.

Думаю, ну ок. Так как есть ещё и линейная скорость, то получается, что должен быть ещё и закон сохранения простого импульса. Далее представляю себе 3 ситуации.

1. Второе кольцо покоится, первое кольцо движется:
$m\upsilon_1 + 0 = m\upsilon$ - обычный импульс системы "кольцо-кольцо";
$I\omega_1 + 0 = I\omega$ - момент импульса системы "кольцо-кольцо";

2. Удар. Первое кольцо движется, второе кольцо движется:
$m\upsilon_1 + m\upsilon_2 = m\upsilon$ - обычный импульс системы "кольцо-кольцо";
$I\omega_1 + I\omega_2 = I\omega$ - момент импульса системы "кольцо-кольцо";
Т. к. имеет место проскальзывание, то $\omega_1>\omega_2$, т. е. первое кольцо вращается быстрее второго.

3. Первое кольцо покоится, второе кольцо движется с новой угловой скоростью $\omega_2<\omega_1$, но с такой же линейной скоростью $\upsilon$, т. к. по условию поверхность гладкая (т. е. трение не учитывается).

И вот на этом месте дальше никак не могу. Одно через другое пробовал выразить, но получается туфта, т. к. для этого нужно знать массу и радиус, а о них мы знаем только то, что они у колец одинаковые и всё. А в ответе должно быть число! Ещё преподаватель сказал, что задача имеет несколько решений, одно из которых вообще в два действия... Это ещё больше озадачило. Помогите, пожалуйста, направьте на путь истинный!

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[slavav]

Вы не воспользовались этим условием. Переведите его в уравнение:

maraul в сообщении #1192331 писал(а):

проскальзывание колец относительно друг друга прекращается в последний момент удара

[rustot]

Момент импульса системы двух тел не равен сумме моментов импульса каждого из них относительно сосбтвенных центров масс

[fred1996]

Задачка забавная и требует четкого понимания того, что произошло.
А произошло то, что в последний момент удара кольца перестали проскальзывать.
А значит превратились в единую жесткую систему, для которой можно сосчитать момент инерции относительно любой точки.
Надо просто выбрать правильную точку. Вернее самую удобную точку и сосчитать начальный и конечный моменты количества и приравнять их.
Это даст вам возможность сосчитать не только угловые скорости колец, но и поперечные скорости их центров масс. А продольные скорости нас не волнуют, поскольку они не дают никакого вклада в изменение вращения. То есть насколько упругий удар нас не интересует.
А После того, как кольца сцепились мертвой хваткой, они так же сразу и расцепились и полетели по своим делам, но уже с сосчитанными вами угловыми и поперечными скоростями.
Результат немного неожиданный, но это просто следствие мертвой сцепки, которой обычно не бывает при стандартных столкновениях.

Как и многие задачки по физике, данная задача демонстрирует основное отличие задач по математике и физике.
Математик вряд ли решит эту задачу, поскольку не знает, как перевести словесные условия на язык формул.
Задача физика как-раз и состоит в том, чтобы правильно поставить задачу, то есть грамотно перевести всю имеющуюся информацию на язык формул.
А когда это проделано, выясняется, что математику тут делать нечего, поскольку в формульном виде такую задачу решит и пятиклассник.

[maraul]

slavav в сообщении #1192652 писал(а):

Вы не воспользовались этим условием. Переведите его в уравнение:

Спасибо за ответ! Только как это перевести в уравнение? Я даже не понимаю до конца, что представляет из себя это проскальзывание, чтобы переводить его в уравнение, так как в интернете нет нормального объяснения этому явлению, а в учебниках для школы и вузов оно вообще никак не затрагивается и не объясняется.

-- 15.02.2017, 17:38 --

fred1996 в сообщении #1192816 писал(а):

Задачка забавная и требует четкого понимания того, что произошло.
А произошло то, что в последний момент удара кольца перестали проскальзывать.
А значит превратились в единую жесткую систему, для которой можно сосчитать момент инерции относительно любой точки.
Надо просто выбрать правильную точку. Вернее самую удобную точку и сосчитать начальный и конечный моменты количества и приравнять их.
Это даст вам возможность сосчитать не только угловые скорости колец, но и поперечные скорости их центров масс. А продольные скорости нас не волнуют, поскольку они не дают никакого вклада в изменение вращения. То есть насколько упругий удар нас не интересует.
А После того, как кольца сцепились мертвой хваткой, они так же сразу и расцепились и полетели по своим делам, но уже с сосчитанными вами угловыми и поперечными скоростями.
Результат немного неожиданный, но это просто следствие мертвой сцепки, которой обычно не бывает при стандартных столкновениях.

Как и многие задачки по физике, данная задача демонстрирует основное отличие задач по математике и физике.
Математик вряд ли решит эту задачу, поскольку не знает, как перевести словесные условия на язык формул.
Задача физика как-раз и состоит в том, чтобы правильно поставить задачу, то есть грамотно перевести всю имеющуюся информацию на язык формул.
А когда это проделано, выясняется, что математику тут делать нечего, поскольку в формульном виде такую задачу решит и пятиклассник.

Дорогой друг! Спасибо большое за этот развёрнутый ответ! :) Я почти понял вашу логику. Но даже если считать относительно любой точки момент инерции или момент количества движения (момент импульса), то всё равно нужно знать массу и радиус. Я пересмотрел все возможные формулы момента инерции и момента импульса для точек и тел - везде нужно знать массу и радиус.( Или я всё-таки что-то не понял?

[rustot]

Момент импульса системы (тот который сохраняется) это не $J_1 \vec{w_1}(t) + J_2 \vec{w_2}(t)$ (данная величина не является моментом импульса системы и НЕ сохранятеся) а $J_1 \vec{w_1}(t) + m_1 \vec{r_1}(t)\times\vec{v_1}(t) + J_2 \vec{w_2}(t) + m_2 \vec{r_2}(t)\times\vec{v_2}(t)$.

Вам нужно выбрать какую то покояющуюся относительно исо точку относительно которой вы вычисляете момент импульса системы (относительно которой вычисляются координаты $\vec{r_i}$ центров масс колец), относительно разных точек момент импульса будет разным но относительно каждой будет сохраняться. Логично предположить что исо, в начале координат которой покоится центр масс системы, окажется наиболее удобной, но вы можете выбрать и любую другую, например относительно которой до взаимодействия покоится центр масс одного из колец, результат не изменится

[fred1996]

Цитата:

Дорогой друг! Спасибо большое за этот развёрнутый ответ! :) Я почти понял вашу логику. Но даже если считать относительно любой точки момент инерции или момент количества движения (момент импульса), то всё равно нужно знать массу и радиус. Я пересмотрел все возможные формулы момента инерции и момента импульса для точек и тел - везде нужно знать массу и радиус.( Или я всё-таки что-то не понял?

Массы и радиусы в таких задачах обычно сокращаются.
Остается безразмерный коэффициент.
Грубо говоря $\omega_1=k\omega_0$, где к-т $k$ не зависит ни от массы, ни от радиуса.
Вы проходили, что такое метод размерностей?

[maraul]

fred1996 в сообщении #1192885 писал(а):

Массы и радиусы в таких задачах обычно сокращаются.
Остается безразмерный коэффициент.
Грубо говоря $\omega_1=k\omega_0$, где к-т $k$ не зависит ни от массы, ни от радиуса.
Вы проходили, что такое метод размерностей?

Вот я и думал как раз, что они должны сократиться, но у меня ничего не выходило. Расскажите, пожалуйста, как происходит сокращение, да ещё и так, что остаётся этот коэффициент $k$ ? Как он влияет на решение? И он ведь тоже неизвестен?
И да, мы проходили на парах, что такое метод размерностей, но я ничего не понял из того, что рассказывал преподаватель. Я пробовал спрашивать, но всё что получал в ответ - это раздражённое ещё более заумное объяснение.

[maraul]

Нашёл почти такую же задачу с решением:
"На гладкой горизонтальной поверхности покоится тонкое кольцо. На него налетает другое такое же кольцо, скользящее по поверхности со скоростью $\upsilon$ и вращающееся с угловой скоростью $\omega$. Найдите угловые скорости колец после соударения, если их проскальзывание относительно друг друга прекращается в последний момент удара."
Решение:
$\omega_1 = - \omega/4$; $\omega_2 = 3\omega/4$
Вот интересно только, а почему угловая скорость интересующего нас кольца с минусом? И почему делится именно на 4?
А почему для того, чтобы найти угловую скорость второго кольца, вообще умножают на 3 и делят на 4?

[warlock66613]

maraul, потому что это ответ, а не решение.