Top-10/5 в математике

[Rak so dna]

vicvolf в сообщении #1192654 писал(а):

Данная проблема тесно связана с проблемой Варинга

Даже я вижу, что данная проблема вообще не связана с проблемой Варинга.

[vicvolf]

(оффтоп и попытка захвата темы)

Andrey A в сообщении #1191335 писал(а):

grizzly в сообщении #1185996 писал(а):

$$x^3+y^3+z^3=k.$$

Легко доказать, что уравнение $x^3+y^3+z^3=1$ имеет бесконечное множество решений в целых числах $x, y, z.$ Это следует, например, из тождества

$$(9n^4)^3+(1-9n^3)^3+(3n-9n^4)^3=1$$

для $n=1,2, ... $.

Нетрудно доказать, что уравнение $x^3+y^3+z^3=t^2$ имеет бесконечное множество решений в различных натуральных числах $x, y, z, t.$ Доказательство вытекает из тождества

$$(u^4+2u)^3+(2u^3+1)^3+(3u^2)^3=(u^6+7u^3+1)^2.$$

Например, для $u=2$ получаем $20^3+17^3+12^3=121^2=11^4. $ Таким образом, здесь имеем также решение уравнения $x^3+y^3+z^3=w^4$ в натуральных числах $x, y, z, w.$

Несколько слов по затронутой выше теме для информации.
Бесконечность количества целых решений данных уравнений можно доказать без всяких тождеств путем оценки количества целых решений данных уравнений снизу, исходя из очень простых соображений.
Например бесконечность количества целых решений рассмотренного выше уравнения:
$x^3+y^3+z^3=1$ (1).
Запишем это уравнение в виде:
$x^3+y^3=1-z^3$ или
$(x+y)(x^2-xy+y^2)=(1-z)(1-z+z^2)$.
Рассмотрим первое уравнение:
$(x+y)(x^2-xy+y^2)=0$. (2)
Оно имеет бесконечное число целых решений на прямой:
$y=-x$
В квадрате со стороной $[-N,N]$ данное уравнение имеет:
$R_2(N)=2N+1=O(N)$.
Рассмотрим второе уравнение:
$(1-z)(1-z+z^2)=0$. (3)
Оно имеет одно целое решение:
$z=1$, т.е.
$R_1(N)=1=O(1)$.
Результирующее уравнение (1) имеет количество решений не меньше, чем произведение количества решений уравнений (2) и (3), поэтому оно имеет бесконечное количество целых решений.
Нижняя асимптотическая оценка количества целых решений уравнения (1) в кубе со стороной $[-N,N]$ равна:
$R_3(N) \geq R_2(N) \cdot R_1(N) = 2N+1=O(N)$.

Еще одно рассмотренное выше уравнение:
$x^3+y^3+z^3=t^2$. (4)
Запишем уравнение (4) в виде:
$(x+y)(x^2-xy+y^2)=t^2-z^3$.
Первое уравнение:
$(x+y)(x^2-xy+y^2)=0$. (5)
Оно имеет бесконечное число целых решений на прямой:
$y=-x$
В квадрате со стороной $[-N,N]$ данное уравнение имеет:
$R^1_2(N)=2N+1=O(N)$.
Рассмотрим второе уравнение:
$t^2=z^3$. (6)
Оно также имеет бесконечное число решений:
$t=v^3, z=v^2$, (7)
где $v$- произвольное целое число.
В квадрате со стороной $[-N,N]$ данное уравнение имеет:
$R^2_2(N)=O(N^{1/3})$.
Результирующее уравнение (4) имеет количество решений не меньше, чем произведение количества решений уравнений (5) и (6), поэтому оно имеет бесконечное количество целых решений.
Нижняя асимптотическая оценка количества целых решений уравнения (4) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ равна:
$R_4(N) \geq R^1_2(N) \cdot R^2_2(N) =O(N^{4/3})$.

Аналогично доказывается бесконечность количества целых решений более общего уравнения:
$x^{2k+1}+y^{2k+1}+z^n=t^m$, (8)
где $k,n,m$ - натуральные числа, $(n,m)=1$.
Запишем уравнение (8) в виде:
$(x+y)(x^{2k}+x^{2k-1}y+...+y^{2k})=t^m-z^n$.
Первое уравнение:
$(x+y)(x^{2k}+x^{2k-1}y+...+y^{2k})=0$. (9)
Оно имеет бесконечное число целых решений на прямой:
$y=-x$
В квадрате со стороной $[-N,N]$ данное уравнение имеет:
$R^1_2(N)=2N+1=O(N)$.
Рассмотрим второе уравнение:
$z^n=t^m$. (10)
Уравнение (10) имеет бесконечное количество число целых решений:
$t=v^n, z=v^m$,
где $v$-произвольное целое число.
В квадрате со стороной $[-N,N]$ данное уравнение имеет:
$R^2_2(N)=O(N^{1/m})$.
Результирующее уравнение (8) имеет количество решений не меньше, чем произведение количества решений уравнений (9) и (10), поэтому оно имеет бесконечное количество целых решений.
Нижняя асимптотическая оценка количества целых решений уравнения (8) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ равна:
$R_4(N) \geq R^1_2(N) \cdot R^2_2(N) =O(N^{1+1/m})$.

Подробнее здесь ссылка удалена

[Deggial]

vicvolf, замечание за попытку захвата темы.
Пост обвёрнут в тег оффтоп. Ссылка на саморекламу удалена.

[a1981]

В этой работе https://perso.ens-lyon.fr/michael.rao/publi/penta.pdf заявлено, что решена задача о замощении плоскости выпуклыми пятиугольниками

[Aritaborian]

Это та, которую Марджори Райс решала? И что говорится, что новых замощений быть не может?

[a1981]

Да, та самая. Говорится, что существует ровно 15 типов пятиугольников, дающих замощения. Классифицировать сами замощения - это абсолютно безнадежная задача.

[grizzly]

a1981 в сообщении #1223477 писал(а):

Классифицировать сами замощения - это абсолютно безнадежная задача.

Безнадёжно сложная или безнадёжно бессмысленная?

[a1981]

grizzly в сообщении #1223555 писал(а):

a1981 в сообщении #1223477 писал(а):

Классифицировать сами замощения - это абсолютно безнадежная задача.

Безнадёжно сложная или безнадёжно бессмысленная?

Как мне кажется, безнадежная в смысле отсутствия сколь либо легко формулируемого ответа.

(Оффтоп)

А задача классификации всех групп безнадежна сложная или безнадежно бессмысленная?

[grizzly]

Спасибо, я понял.

a1981 в сообщении #1223579 писал(а):

А задача классификации всех групп безнадежна сложная или безнадежно бессмысленная?

Сложная. Но смысл в ней есть. Даже в не самых полных классификациях и / или разных подходах, я думаю (я не специалист в этом).

[a1981]

grizzly, я просто пытался понять, где Вы проводите разницу между безнадежной сложностью и безнадежной бессмысленностью...

Частичных результатов про замощения много. Например, для каждого пятиугольника из списка
видимо можно найти простейшее периодическое замощение. Есть результаты по классификации замощений с малым числом пятиугольников в фундаментальной области относительно группы симметрий и т.д. Есть большие серии примеров, например недавно были построены две бесконечные серии топологически различных замощений с группами симметрии $C_n$ и $D_n$. Еще бывают спиральные замощения.

Проблема в том, что при попытке классификации кроме перебора особых методов пока не видно, а перебор видимо не заканчивается. Даже в периодическом случае видимо существуют сколь угодно сложные замощения. А как может хотя бы выглядеть ответ, если периодичности не требовать - совсем непонятно. И насколько я понимаю (хотя я тоже не совсем специалист, просто задача из детства, которая мне нравится), в существование какого-то разумного ответа никто не верит.

[grizzly]

a1981
Спасибо ещё раз. Как раз такую степень развёрнутости ответа я ожидал в идеале.

[grizzly]

Продолжим по традиции освещать в этой теме не только самые значимые достижения на передовой математики, но также результаты по таким задачам, которые просто формулируются, но сложно доказываются. Особенно если к ним приложили руку сильные мира сего.

На этот раз речь пойдёт об одной гипотезе Конвея (того самого), который недавно проиграл в этой жизни 1000 денег -- он ошибся в своей гипотезе.

Формулируется просто. Берём число, например 9, и функцию $f(n)$: $f(9)=f(3^2)=32$ (десятичное число образуется конкатенацией цифр разложения на множители). Теперь смотрим дальше $f(f(9))=f(32)=f(2^5)=25$, $f(25)=f(5^2)=52$, $f(52)=f(2^2\cdot 13)=2213$, $f(2213)=2213$. В конце концов получили неподвижную точку -- простое число.

Конвей предположил, что в конце концов всегда получится простое число. Но нет -- летом был найден контрпример.

Ссылки:
-- формулировка задачи Ковея (см. последнюю задачу в списке),
-- Первый комментарий любителя математики (не профессионала), с вопросом типа: "я нашёл, как об этом сообщить?" в каком-то популярном блоге (см. единственный комментарий внизу).
-- И уже через пару дней новость облетела весь мир.

(Благодарю гугл за оказанную мне помощь в расследовании этой интригующей истории :)
_______

Упомяну для истории в этой теме также задачу про остроугольные множества. Эта задача была существенно продвинута в весенне-летний период -- вышло 3 статьи, которые вывели задачу из вероятностного тупика и, судя по всему, довели почти до решения. Мотивацией для завершающей статьи послужили примеры, полученные на нашем форуме. Подробности со всеми ссылками можно проследить в этой теме форума.

[Anton_Peplov]

Гипотеза Тота доказана (как утверждается в статье):
https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-017-0427-6
Один из двух авторов работы - из МФТИ. Рунет сегодня стоит на ушах по этому поводу.

[kotenok gav]

Anton_Peplov в сообщении #1272419 писал(а):

Гипотеза Тота

А что это за гипотеза?

[пианист]

Не могу не вспомнить в связи ;)

Цитата:

Второй сдвиг - рост престижа задач, основная мотивация для решения которых - это то, что они очень трудны и очень давно поставлены. Т.е. спортивная мотивация. От решения не ожидается углубления понимания предмета. Результат - длинные неудобчитаемые работы, которые и читать-то незачем, поскольку это просто сложная и запутанная последовательность шагов. Это - более свежая тенденция, где-то с начала 90-х, но у нее есть предвестник - объявление в 80-м году о решении старой задачи, классификации конечных простых групп. Объявление было сильно преждевременным, потом еще раза три объявляли. Решение - объединение сотен параллельных работ. Люди, внесшие реальный и наиболее осмысленный вклад в эту деятельность, признают, что никакого понимания там и близко нет. Но поскольку главная задача считается решенной, стимула заниматься этой областью дальше практически нет.