2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение05.05.2017, 22:52 


07/03/12
31
Препринт на Архиве https://arxiv.org/pdf/1705.01171.pdf

Здесь пишут https://nplus1.ru/news/2017/05/05/10-grade-math, что автор - московский десятиклассник.

Решение удивительно короткое, на пол-листа, но верное ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение06.05.2017, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4382
dani1978 в сообщении #1214366 писал(а):
Решение удивительно короткое, на пол-листа, но верное ли?
Решение не только короткое, но и в самом деле простое. Наши поздравления Дмитрию Захарову!

Там в новостях ссылка на фб-страничку А.Акопяна -- на ней интересное обсуждение с комментариями и другими примерами, в т.ч. по вопросу "вправе ли простой смертный интересоваться нерешёнными проблемами математики", который не раз поднимался здесь на форуме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение06.05.2017, 12:03 


31/12/15
203
Я Эрдёш
Меня не проведёш!

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение06.05.2017, 12:18 
Аватара пользователя


07/01/15
739
Нюрба
Исключительный случай: человек с бОльшим числом Эрдёша получил результат, лучший, чем у человека с мЕньшим числом Эрдёша.

dani1978 в сообщении #1214366 писал(а):
автор - московский десятиклассник.

Класс!

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение27.05.2017, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4382
Upd 29.05. Я немного подкорректировал сообщение.

Райгородский в брошюре, посвящённой остроугольным множествам (далее ОМ), пишет, что гипотеза Данцера -- Грюнбаума ("мощность ОМ в $\mathbb R^n$ равна $2n-1$") продержалась 20 лет. Тем более удивительно, что у меня ушло пару часов на подбор 8 точек вручную (в смысле, без написания каких-то программ, а углы я устно не считал, конечно :) Почему я вообще решил проверять $\mathbb R^4$? Мне нравится, когда в вырожденных случаях формулы комбинаторной геометрии тоже работают. Но тогда $\mathbb R^1$ подсказывает совершенно другую гипотезу для $|S_n|$ -- мощности ОМ в $\mathbb R^n$
$$
|S_n|=2^{n-1}+1.
$$По этой формуле в $\mathbb R^4$ должно быть 9 точек. Чтобы найти эти 9 точек, пришлось убить вчера целый вечер, комбинируя ручные методы с услугами небольшой программки, любезно предоставленной мне группой поддержки (я сам плохой программист, увы).

(Мой не очень красивый пример из 9 точек)

Код:
a=(0.65829,1.91847,-0.16063,1.8002);
b=(2.347,1.365,0.1501,1.2854);
c=(0.145,1.32,2,1.98);
d=(0.032,2.0282,0.9099,0.227);
e=(1.9526,0.07627,0.9224,1.89205);
f=(1.8635,1.84838,1.6344,0.2393);
g=(1.321,0.207,2.03,0.3491);
h=(0.13,0.3,0.5,-0.15);
k=(0.0965,0.30131,0.29426,1.96216);

Я, понятное дело, :D хотел бы заинтересовать этой задачей всех участников (хотя бы математиков и программистов). Я надеюсь, что найти алгоритм создания такого множества в $\mathbb R^n$ вполне реально. Это даст новую оценку снизу.

Хорошо было бы найти пример из 9 точек покрасивше моего. Тогда имея 3 хороших примера (в размерностях 2--4) можно было бы надеяться уловить закономерность. Именно так я нашёл свои примеры, кстати.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение05.06.2017, 00:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4382
grizzly в сообщении #1219104 писал(а):
Хорошо было бы найти пример из 9 точек покрасивше моего.
С этой задачей я справился (см. ниже красивый пример на 9 точек). К тому же немного продвинулся и в понимании задачи (компьютер здесь уже не помощник -- вычислительная сложность задачи выходит за Вселенские рамки). Теперь надеюсь найти по аналогии 17 точек в $\mathbb R^5$. Ещё больше надеюсь найти универсальный -- в $\mathbb R^n$ -- алгоритм построения, а не голый пример. Тогда не придётся придумывать доказательство :)

В литературе (2011 г.) нашёл красивый пример в $\mathbb R^4$. Но это 8 точек. Разница между 8 и 9 точек здесь просто пропасть. Более свежих примеров не было, похоже. В этой же статье пример для $\mathbb R^5$ из 12 точек. Если удастся найти алгоритм построения, это будет новый прорыв в старой задаче, над которой ломали голову многие великие. Даже если просто получится построить 17 точек, это тоже будет важный результат.

Обещанный пример (upd. 5-jun -- немного упростил пример). В основе простой единичный 3D-куб, несколько раз скрученный и изогнутый. (Надеюсь, нигде не ошибся при наборе. Сам пример прошёл кросс-проверку разными способами -- всё честно.)
\begin{array}{||c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | }
\hline
 & a & b & c & d &  & e & f & g & h &  & k\\
\hline
x & s & 1-s & 0 & 1 &  & 0 & 1 & s & 1-s &  & 0.5 \\
\hline
y & s & 0 & 1-s & 1 &  & 0 & s & 1 & 1-s &  & 0.5\\
\hline
z & s & 0 & 0 & s &  & 1-s & 1 & 1 & 1-s &  & 0.5\\
\hline
t & 0.2 & 0 & 0.0001 & 0.001 &  & 0.001 & 0.0001 & 0 & 0.2 &  & 1.5\\
\hline
\end{array}

$s=0.01$
Точка $k$ -- вершина "пирамидки" по оси $t$.
По центру таблички -- вертикальная ось (а)симметрии:
координата $(x,y,z)$ любой точки справа равна "1 минус коорд. сим. точки слева". Например, $e_z=1-d_z.$
Координата по $t$ -- обычная симметрия.

Upd. (05-jun): чуть украсил пример выше. Пока не понимаю, как выразить координату $t$ параметром (так, чтобы произвольно варьируя параметрами можно было всегда получать Остроугольное Множество). Пока же в этом примере параметр $s$ можно менять в каком-то относительно широком диапазоне, при выходе из которого нужно править цифры по координате $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение10.06.2017, 12:39 


10/06/17
6
Уважаемый grizzly, позвольте поздравить Вас с красивым результатом! Я проверил Ваш первый пример с 9 точками и продолжаю с интересом следить за Вашими сообщениями в этой теме. Удалось ли Вам достичь какого-либо прогресса (относительно 12 точек) в размерности 5?

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение10.06.2017, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4382
heptagon
Спасибо на добром слове :)
В $\mathbb R^5$ новых результатов ещё нет. И да, я не пытался побить рекорд в 12 точек -- я пока надеюсь найти все 17. Кстати, я в своём поиске не использую совсем никакой математики, кроме понимания понятий $\mathbb R^n$ и скалярного произведения. В остальном я просто пытаюсь решить головоломку.

Со статьёй Дмитрия Захарова (с которой началась эта тема) на reddit.com вышел какой-то курьёз. Дело в том, что на arXiv.org есть ещё один автор-математик Дмитрий Захаров. В базе данных архива вышла какая-то неразбериха и оба эти автора идут под одним ID. Из-за этого в обсуждении на reddit'е кто-то пытался развить конспирологическую теорию про руку Москвы (благо, до руки Путина не дошло :) Справедливость там восторжествовала, но всё равно "осадок остался" (и ошибка на архиве тоже).

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение10.06.2017, 18:51 


21/11/12
468

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1224015 писал(а):
но всё равно "осадок остался" (и ошибка на архиве тоже).

:D

На том же месте,
В тот же час...

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение15.06.2017, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4382
Я думаю, есть смысл пояснить, как я пришёл к своему второму (красивому) примеру в $\mathbb R^4$. Для пущей увлекательности рассказа я добавлю своих каких-то правдоподобных исторических и математических домыслов -- если уж пытаться оживлять тему, то нужно провоцировать критику :) Собственно, эти вымышленные (даже если они ошибочные) параллели помогают мне решать, так что вдруг кому-то они помогут понимать и развить тему. (Далее ОМ -- остроугольное множество.)

Раньше (с 1962 г.) исходили из такой парадигмы перехода от $\mathbb R^2$ в $\mathbb R^3$:
В $\mathbb R^2$ максимальное ОМ -- равносторонний треугольник;
В $\mathbb R^3$ -- естественное обобщение: равнобокая (в меру сил) бипирамидка.
Продолжение ряда в этой парадигме легко даёт в $\mathbb R^4$ 7 точек и далее по формуле $2d-1$. С 1962-го года 20 лет все, как заколдованные, находились в рамках этой парадигмы. Потом парадигму разрушили вероятностными методами, но контрпример можно было построить только $\mathbb R^{35}$ и выше -- благодаря другой формуле. Никто тогда ещё не знал, что всё рушится уже в $\mathbb R^4$, а не "где-то там". Это стало понятно в 2011-м, когда появились новые методы и был обнаружен пример в $\mathbb R^4$.

Я с самого начала ищу другую парадигму.
В $\mathbb R^2$ я строю обобщённую "пирамидку" -- в основании отрезок (это единичный куб в $\mathbb R^1$), а по центру "сверху" -- вершина. Получаю тот самый треугольник, но с другим намёком.
В $\mathbb R^3$ в основании обычный квадрат (единичный куб в $\mathbb R^2$), а сверху вершина. Чтобы избежать прямых углов в основании, мы поднимаем диагональные точки на относительно небольшую величину "вверх". В каком-то смысле это опять таки та же бипирамида, но я смотрю на неё, как на немного искажённую квадратную пирамиду. И это всё меняет.

Теперь что я делаю в $\mathbb R^4$. Я беру в основании единичный $\mathbb R^3$-куб. Вершина -- точка "сверху" по центру, как обычно (про неё можно забыть -- она имеет большой запас прочности). Теперь дальше. Я поворачиваю этот кубик по каждой грани и каждый квадрат, который оказывается "на полу" искажаю точно так же, как в прошлой размерности. На выходе я таким образом получаю пожмаканный "кубик", у которого на всех гранях почти все углы острые (исключения составляют только 2 вершины -- возможно это тоже лечится?). Но некоторые диагональные углы остаются прямыми. Это всё исправляется сдвигом вершин кубика по координате 4. Величины этих сдвигов взаимосвязаны между собой и должны находиться в определённых соотношениях (для нахождения связей "легко", я надеюсь, выписать систему неравенств для задачи линейного программирования). Следует иметь в виду, что если сам кубик был пожмакан слишком сильно, то эта система не будет иметь решения.

Это на пальцах. Продолжение следует -- следующим сообщением я напишу формальные преобразования координат, которые стартуя от единичного куба автоматически дадут мой "красивый" пример. Затем будем пытаться это формальное преобразование развить в $\mathbb R^5$ и далее. (Если получится в $\mathbb R^5$, то далее уже можно будет не сомневаться.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение15.06.2017, 09:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4382
grizzly в сообщении #1225523 писал(а):
Это всё исправляется сдвигом вершин кубика по координате 4. Величины этих сдвигов взаимосвязаны между собой и должны находиться в определённых соотношениях (для нахождения связей "легко", я надеюсь, выписать систему неравенств для задачи линейного программирования).
Бред детектед. Этот фиговый листок просто прикрывает прореху в понимании. Об этом лучше сразу говорить честно -- иначе невозможно бороться с непониманием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение15.06.2017, 09:19 
Заслуженный участник


14/01/11
1636
Если пока оставить в стороне отдельно стоящую точку и сосредоточиться на кубе, для 4-мерного случая в голове возникает такая конструкция:
$(0,0,0,s)$,
$(1,0,0,-s)$, $(0,1,0,-s)$, $(0,0,1,-s)$,
$(1,1,0,s)$, $(1,0,1,s)$, $(0,1,1,s)$,
$(1,1,1,-s)$.
Не уверен насчёт обобщаемости этой идеи на высшие размерности, надо будет после работы подумать. :roll:

-- Чт июн 15, 2017 09:32:20 --

Не годится, диагональные углы остаются. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение15.06.2017, 10:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4382
Sender
Для 4D случая пример неплохой конструкции есть в одном из моих прошлых сообщений (5е сообщение в теме -- я постоянно ссылаюсь на этот пример в своих рассуждениях). Именно его я сейчас пытаюсь обобщать на 5D.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение15.06.2017, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4382
Я всё-таки расскажу вкратце, как я могу получить свой пример формальными преобразованиями. Но рассказывать буду опять на пальцах.

Есть кубик. Точка 000 находится в нижней / передней / левой грани.
000 100 010 110 -- нижн. грань
001 101 011 111 -- верх. грань
Поднимаем диагональные точки нижней грани вверх на небольшое число A. Одновременно (чтоб не вставать дважды) опускаем симметричные верхние точки на то же число A. (Я обозначу $B = 1-A$.)
Получаем:
00A 100 010 11A
00B 101 011 11B
Переворачиваем кубик левой гранью вниз. Так чтобы точка 000 (теперь уже 00A) по-прежнему находилась в нижнем--переднем--левом углу. И снова поднимаем аналогичные диагональные точке вверх на A. Получается вот что:
0AA 00B 100 1A1
0B0 011 11A 1BB
Теперь то же для последней пары граней:
AAA 0B0 00B A11
B00 11A 1A1 BBB
Последняя конфигурация -- это в точности первые 3 координаты всех точек предложенного решения.

Четвёртая координата -- борьба с диагоналями. Делаем ещё 3 раза тоже самое, но "на полу" размещаем поочерёдно 3 (попарно разных) диагональных сечения, а "верхом" считаем координату 4. И каждую диагональ задираем на разную высоту. Вот так получается четвёртая координата. Взаимосвязь упомянутых "разных высот" мне не понятна. Остальное сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение15.06.2017, 18:46 


03/10/06
635
У квадрата вы двигали две точки по третьему измерению, которые не лежат на одной стороне квадрата. У куба наверное вы двигали четыре несмежные точки по четвёртому измерению (половину всех точек и каждые две двигаемые точки не должны принадлежат одному ребру). Так?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 73 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group