Построить треугольник по 2 углам и периметру.

[Someone]

NL0 в сообщении #1190797 писал(а):

визуально даже не похоже

А причём тут "визуально"? Там получаются равнобедренные треугольники, и совсем простое рассуждение показывает, что получилось именно то, что нужно.

Да, кстати, перпендикуляры к чему Вы проводите?

[EUgeneUS]

NL0 в сообщении #1190784 писал(а):

Переформулировка: Возможно ли решить обоснованно задачу "построить треугольник по 2 углам и периметру", используя темы из оффтопа?

А в этих темах упоминается теорема Фалеса и её обобщение в виде теоремы о пропорциональных отрезках?

[bot]

NL0 в сообщении #1190797 писал(а):

А почему это будут именно вершинами искомого треугольника? (что-то именно в этом я сомневаюсь..., визуально даже не похоже)

Не в курсе как сейчас в школе учат решать задачи на построение. Меня учили строить методом "туда, обратно" и завершать доказательством. Названия были другие, кажется так "анализ, построение и док-во", что построено искомое.
Туда или анализ начинался со слов "пусть искомое построено, проведём дополнительные ... "
Ну так вот, пусть треугольник построен. Что можем провести? Перебираем варианты: высоты, медианы, биссектрисы ..., ещё что? Ну разорвать треугольник в вершине можно и развернуть боковые стороны в одну линию с основанием .... , стоп, что получится, если соединить точку, где была вершина, с концами полученного отрезка? Получится треугольник с основанием, равным периметру и углами при нём какими? - Половинными.
Теперь обратный ход ... , чтобы искомый треугольник получить из дополнительно построенного, надо от него отрезать два равнобедренных с основаниями на боковых сторонах построенного ... где вершины этих равнобедренных, не на срединных перпендикулярах ли?..

[Skeptic]

Someone в сообщении #1190893 писал(а):

Да, кстати, перпендикуляры к чему Вы проводите?

Я неправильно выразился.
Перпендикуляры восстанавливаются из середин отрезков биссектрис.

[Someone]

Skeptic в сообщении #1190989 писал(а):

Я неправильно выразился.

Тем не менее, я Вас правильно понял. Меня интересовало, как понял NL0.

NL0 в сообщении #1190797 писал(а):

в этом я сомневаюсь

Вот и продемонстрируйте нам доказательство того, что получилось именно то, что нужно. А написать за Вас полное решение запрещают правила форума.

EUgeneUS в сообщении #1190899 писал(а):

А в этих темах упоминается теорема Фалеса и её обобщение в виде теоремы о пропорциональных отрезках?

Да не нужна она. Достаточно знать про равнобедренные треугольники. Пункт 18.

[bot]

Someone в сообщении #1191056 писал(а):

А написать за Вас полное решение запрещают правила форума

Да чего уж там, его уж написали два раза, ... но не я начал.

[EUgeneUS]

Someone в сообщении #1191056 писал(а):

Да не нужна она.

Понятно, что есть решение без неё (теоремы о пропорциональных отрезках). Но когда я в школе тупил над задачами на построение, то решал их алгебраически, и доказывал, что уравнение можно построить с помощью циркуля и линейки. Но без деления\пропорций никак. А теорема о пропорциональных отрезках, наверное, это "использование подобия".

[NL0]

Someone в сообщении #1190893 писал(а):

Да, кстати, перпендикуляры к чему Вы проводите?

Не туда, куда нужно проводил перпендикуляры

bot в сообщении #1190982 писал(а):

Меня учили строить методом "туда, обратно" и завершать доказательством.

Спасибо за отличную идею, меня так не учили!

bot в сообщении #1190982 писал(а):

Ну разорвать треугольник в вершине можно и развернуть боковые стороны в одну линию с основанием .... , стоп, что получится, если соединить точку, где была вершина, с концами полученного отрезка? Получится треугольник с основанием, равным периметру и углами при нём какими? - Половинными.

Но тут вижу проблему (может это я как-то не так смотрю?) Да, получится с половинными, но чтобы это аргументировать -- нужно сказать, что этот половинный угол будет половинным из-за того, что сумма двух внутренних углов равна внешнему, не смежному с этими двумя внутренними. В этом и проблема (что эта теорема идет после темы о параллельных прямых). Ясно, что в прямом ходе это не настолько важно, это чтобы "прощупать задачу", насколько я понял. А в обратном про срединные перпендикуляры все равно придется ссылаться на внешний угол, как сумму внутренних или на подобные треугольники.

Я тогда напишу решение задачи хоть какое-то, чтобы не было проблем с правилами форума:


Отложим на некоторой прямой отрезок $AB$, равный периметру, и отложим углы $\angle BAC$ и $\angle ABC$ (которые даны по условию задачи, откладываем так, чтобы точки $A$ и $B$ были вершинами углов), а затем построим их биссектрисы, пусть биссектрисы пересеклись в точке $E$, проведем срединные перпендикуляры $FG$ и $HI$ к сторонам $AE$ и $EB$, пусть они пересекают $AB$ в точках $G$ и $I$ соответственно. Треугольник $GEI$ -- искомый, потому как $\angle GAE=\angle AEG$ (тк треугольники $AFG$ и $GFE$ равны по первому признаку равенства треугольников), а $\angle IGE=2\angle BAE$ ввиду того, что это внешний $\angle IGE$, он равен сумме внутренних, несмежных с ним, а так как $2\angle BAE=\angle CAB$ по определению биссектрисы, то $\angle IGE=\angle CAB$, аналогично, $\angle GIE=\angle ABC$. По признаку равнобедренного треугольника $AG=GH$ и $EI=IB$, получаем, что периметр треугольника $GIE$ равен длине стороны $AB$, что и требовалось доказать.

[bot]

NL0 в сообщении #1191361 писал(а):

В этом и проблема (что эта теорема идет после темы о параллельных прямых)

А если пополам угол не в сторонке делить, то надо доказывать, что $IE$ параллельна $BC$.
А что в геометрии можно сделать без параллельных прямых? Тот же угол пополам ...

-- Пт фев 10, 2017 10:04:51 --

Нет, угол пополам запросто - ромб строить не обязательно, строим равнобедренный и из середины основания восстанвливаем перпендикуляр.

-- Пт фев 10, 2017 10:09:14 --

Хм, нет не запросто, а почему перпединкуляр через вершину пройдёт? Допустим нет, тогда он пересечёт одну из боковых сторон не в вершине. Проводим через точку пересечения прямую, параллельную ....

Не, не знаю как без параллельных угол пополам разделить. Может думал плохо?

[INGELRII]

Дык соединяем вершину с серединой основания и доказываем равенство треугольников по трем сторонам. Оттуда все сразу вываливается, что мы только захотим.

[Skeptic]

NL0 в сообщении #1191361 писал(а):

Но тут вижу проблему (может это я как-то не так смотрю?) Да, получится с половинными, но чтобы это аргументировать -- нужно сказать, что этот половинный угол будет половинным из-за того, что сумма двух внутренних углов равна внешнему, не смежному с этими двумя внутренними. В этом и проблема (что эта теорема идет после темы о параллельных прямых).

Как в вашем учебнике доказывается, что сумма углов треугольника равна 180 градусов?

В учебнике Киселёв А.П. Элементарная геометрия, 1914 сумма углов треугольника рассматривается с разделе Параллельные линии.

[bot]

INGELRII в сообщении #1191395 писал(а):

Дык соединяем вершину с серединой основания

Хм, ступил, да. Хотя ... куда-то у меня вершина запропастилась (и даже две), зато откуда-то середина нарисовалась. Её можно получить, соединив симметричные вершины ..., а почему тогда отрезок пополам разобьётся? Всё одно хоть круть-верть, хоть верть-круть - кругом ромба ходим.

[NL0]

Skeptic в сообщении #1191402 писал(а):

Как в вашем учебнике доказывается, что сумма углов треугольника равна 180 градусов?

В учебнике Киселёв А.П. Элементарная геометрия, 1914 сумма углов треугольника рассматривается с разделе Параллельные линии.

Конечно, на параллельности основывается (реально ли иначе доказать разве?). Потому я написал решение, которое не подходит под условия "по темам до параллельности", вот потому все еще для меня вопрос этот открыт.