2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение08.02.2017, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
NL0 в сообщении #1190797 писал(а):
визуально даже не похоже
А причём тут "визуально"? Там получаются равнобедренные треугольники, и совсем простое рассуждение показывает, что получилось именно то, что нужно.

Да, кстати, перпендикуляры к чему Вы проводите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение08.02.2017, 22:02 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
NL0 в сообщении #1190784 писал(а):
Переформулировка: Возможно ли решить обоснованно задачу "построить треугольник по 2 углам и периметру", используя темы из оффтопа?


А в этих темах упоминается теорема Фалеса и её обобщение в виде теоремы о пропорциональных отрезках?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение09.02.2017, 07:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
NL0 в сообщении #1190797 писал(а):
А почему это будут именно вершинами искомого треугольника? (что-то именно в этом я сомневаюсь..., визуально даже не похоже)

Не в курсе как сейчас в школе учат решать задачи на построение. Меня учили строить методом "туда, обратно" и завершать доказательством. Названия были другие, кажется так "анализ, построение и док-во", что построено искомое.
Туда или анализ начинался со слов "пусть искомое построено, проведём дополнительные ... "
Ну так вот, пусть треугольник построен. Что можем провести? Перебираем варианты: высоты, медианы, биссектрисы ..., ещё что? Ну разорвать треугольник в вершине можно и развернуть боковые стороны в одну линию с основанием .... , стоп, что получится, если соединить точку, где была вершина, с концами полученного отрезка? Получится треугольник с основанием, равным периметру и углами при нём какими? - Половинными.
Теперь обратный ход ... , чтобы искомый треугольник получить из дополнительно построенного, надо от него отрезать два равнобедренных с основаниями на боковых сторонах построенного ... где вершины этих равнобедренных, не на срединных перпендикулярах ли?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение09.02.2017, 08:18 


01/12/11

1047
Someone в сообщении #1190893 писал(а):
Да, кстати, перпендикуляры к чему Вы проводите?

Я неправильно выразился.
Перпендикуляры восстанавливаются из середин отрезков биссектрис.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение09.02.2017, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Skeptic в сообщении #1190989 писал(а):
Я неправильно выразился.
Тем не менее, я Вас правильно понял. Меня интересовало, как понял NL0.

NL0 в сообщении #1190797 писал(а):
в этом я сомневаюсь
Вот и продемонстрируйте нам доказательство того, что получилось именно то, что нужно. А написать за Вас полное решение запрещают правила форума.

EUgeneUS в сообщении #1190899 писал(а):
А в этих темах упоминается теорема Фалеса и её обобщение в виде теоремы о пропорциональных отрезках?
Да не нужна она. Достаточно знать про равнобедренные треугольники. Пункт 18.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение09.02.2017, 12:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Someone в сообщении #1191056 писал(а):
А написать за Вас полное решение запрещают правила форума

Да чего уж там, его уж написали два раза, ... но не я начал. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение09.02.2017, 12:45 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Someone в сообщении #1191056 писал(а):
Да не нужна она.


Понятно, что есть решение без неё (теоремы о пропорциональных отрезках). Но когда я в школе тупил над задачами на построение, то решал их алгебраически, и доказывал, что уравнение можно построить с помощью циркуля и линейки. Но без деления\пропорций никак. А теорема о пропорциональных отрезках, наверное, это "использование подобия".

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение10.02.2017, 01:46 


13/02/16
129
Someone в сообщении #1190893 писал(а):
Да, кстати, перпендикуляры к чему Вы проводите?

Не туда, куда нужно проводил перпендикуляры

bot в сообщении #1190982 писал(а):
Меня учили строить методом "туда, обратно" и завершать доказательством.

Спасибо за отличную идею, меня так не учили!
bot в сообщении #1190982 писал(а):
Ну разорвать треугольник в вершине можно и развернуть боковые стороны в одну линию с основанием .... , стоп, что получится, если соединить точку, где была вершина, с концами полученного отрезка? Получится треугольник с основанием, равным периметру и углами при нём какими? - Половинными.

Но тут вижу проблему (может это я как-то не так смотрю?) Да, получится с половинными, но чтобы это аргументировать -- нужно сказать, что этот половинный угол будет половинным из-за того, что сумма двух внутренних углов равна внешнему, не смежному с этими двумя внутренними. В этом и проблема (что эта теорема идет после темы о параллельных прямых). Ясно, что в прямом ходе это не настолько важно, это чтобы "прощупать задачу", насколько я понял. А в обратном про срединные перпендикуляры все равно придется ссылаться на внешний угол, как сумму внутренних или на подобные треугольники.

Я тогда напишу решение задачи хоть какое-то, чтобы не было проблем с правилами форума:

Изображение
Отложим на некоторой прямой отрезок $AB$, равный периметру, и отложим углы $\angle BAC$ и $\angle ABC$ (которые даны по условию задачи, откладываем так, чтобы точки $A$ и $B$ были вершинами углов), а затем построим их биссектрисы, пусть биссектрисы пересеклись в точке $E$, проведем срединные перпендикуляры $FG$ и $HI$ к сторонам $AE$ и $EB$, пусть они пересекают $AB$ в точках $G$ и $I$ соответственно. Треугольник $GEI$ -- искомый, потому как $\angle GAE=\angle AEG$ (тк треугольники $AFG$ и $GFE$ равны по первому признаку равенства треугольников), а $\angle IGE=2\angle BAE$ ввиду того, что это внешний $\angle IGE$, он равен сумме внутренних, несмежных с ним, а так как $2\angle BAE=\angle CAB$ по определению биссектрисы, то $\angle IGE=\angle CAB$, аналогично, $\angle GIE=\angle ABC$. По признаку равнобедренного треугольника $AG=GH$ и $EI=IB$, получаем, что периметр треугольника $GIE$ равен длине стороны $AB$, что и требовалось доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение10.02.2017, 07:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
NL0 в сообщении #1191361 писал(а):
В этом и проблема (что эта теорема идет после темы о параллельных прямых)

А если пополам угол не в сторонке делить, то надо доказывать, что $IE$ параллельна $BC$.
А что в геометрии можно сделать без параллельных прямых? Тот же угол пополам ...

-- Пт фев 10, 2017 10:04:51 --

Нет, угол пополам запросто - ромб строить не обязательно, строим равнобедренный и из середины основания восстанвливаем перпендикуляр.

-- Пт фев 10, 2017 10:09:14 --

Хм, нет не запросто, а почему перпединкуляр через вершину пройдёт? Допустим нет, тогда он пересечёт одну из боковых сторон не в вершине. Проводим через точку пересечения прямую, параллельную ....

Не, не знаю как без параллельных угол пополам разделить. Может думал плохо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение10.02.2017, 09:27 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Дык соединяем вершину с серединой основания и доказываем равенство треугольников по трем сторонам. Оттуда все сразу вываливается, что мы только захотим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение10.02.2017, 09:50 


01/12/11

1047
NL0 в сообщении #1191361 писал(а):
Но тут вижу проблему (может это я как-то не так смотрю?) Да, получится с половинными, но чтобы это аргументировать -- нужно сказать, что этот половинный угол будет половинным из-за того, что сумма двух внутренних углов равна внешнему, не смежному с этими двумя внутренними. В этом и проблема (что эта теорема идет после темы о параллельных прямых).

Как в вашем учебнике доказывается, что сумма углов треугольника равна 180 градусов?

В учебнике Киселёв А.П. Элементарная геометрия, 1914 сумма углов треугольника рассматривается с разделе Параллельные линии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение10.02.2017, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
INGELRII в сообщении #1191395 писал(а):
Дык соединяем вершину с серединой основания

Хм, ступил, да. Хотя ... куда-то у меня вершина запропастилась (и даже две), зато откуда-то середина нарисовалась. Её можно получить, соединив симметричные вершины ..., а почему тогда отрезок пополам разобьётся? Всё одно хоть круть-верть, хоть верть-круть - кругом ромба ходим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Сообщение10.02.2017, 22:26 


13/02/16
129
Skeptic в сообщении #1191402 писал(а):
Как в вашем учебнике доказывается, что сумма углов треугольника равна 180 градусов?

В учебнике Киселёв А.П. Элементарная геометрия, 1914 сумма углов треугольника рассматривается с разделе Параллельные линии.


Конечно, на параллельности основывается (реально ли иначе доказать разве?). Потому я написал решение, которое не подходит под условия "по темам до параллельности", вот потому все еще для меня вопрос этот открыт.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group