Типичные ученические ошибки

[Anton_Peplov]

Уважаемые участники, а поделитесь, какие ошибки в решении задач / доказательстве теорем чаще всего делают Ваши студенты (если Вы преподаватель), делаете Вы (если Вы студент) или делали Вы (если были студентом)? Интереснее, конечно, не банальные частности типа "не умеют складывать дроби" или "путают средний квадрат с квадратом среднего", а ошибки в методе, так сказать, ошибки класса "пошел не туда". Например, за собой я знаю две такие ошибки, которые давно пора изжить, но все как-то не получается.
1. Сформулировав утверждение, верное на прямой и не верное во всяких экзотических пространствах (дискретном, или не хаусдорфовом, или еще каком-нибудь странном), 30 минут пытаться его доказать для "достаточно хороших" пространств (например, метрических или метрических связных). Правильное решение - поискать контрпример на плоскости, нередко он находится за 30 секунд.
2. Имея в выражении неизвестный член, выразить его через первое попавшееся соотношение, в которое он входит, и потом мучиться с новыми появившимися неизвестными членами. Правильное решение - поискать соотношение, в котором неизвестный член выражается через известные.

[Pphantom]

С предметом бы еще определиться...

Для определенности - физика в разных видах, первый курс. Как правило, тяжкое наследие школы, и, увы, совершенно типичное...

1) Патологическая любовь к системе СИ (или, иногда, к какой-то другой, но опять-таки одной конкретной). Как следствие, восприятие любых значений (даже собственноручно полученных в других единицах) как значений в СИ, а также стремление все и всегда перевести в нее, даже если это явно излишне.
2) Любовь к запоминанию только мантиссы у констант (и забыванию порядка). Все помнят, что в той же пресловутой СИ гравитационная постоянная - это $6.67 \cdot 10^{\dots}$, а вот что там в порядке - неизвестно. Или $-11$, или $+11$, или еще что-то...
3) Полное отсутствие умения (и непонимание, зачем оно нужно) получать грубые предварительные оценки ответа. Все задачи, как правило, решаются по такой схеме: ищем подходящую формулу (или формулы), собираем их, после чего решаем чисто математическую задачу о выражении нужной величины через другие, не интересуясь физическим смыслом происходящего. Оценка значимости тех или иных эффектов также отсутствует, поэтому все пробивается до конца только математическими методами.
4) Неумение считать. Как следствие - слепая вера в то, что показал калькулятор. Зачастую, с учетом п.3 - даже в том случае, если ответ откровенно нелеп.
5) Непонимание даже элементарных основ теории погрешностей. Предполагается, что все можно и нужно считать с той точностью, которую позволяет калькулятор.
6) (в некотором роде обобщение всего предыдущего) Искренняя уверенность, что "решить физическую задачу" - это получить формулу, по которой в принципе можно вычислить ответ.

[Anton_Peplov]

Pphantom в сообщении #1189746 писал(а):

С предметом бы еще определиться

А зачем? Пусть каждый говорит о том предмете, о котором ему есть что сказать.
Спасибо за прекрасный список. Поймал себя на том, что тоже не помню порядок гравитационной постоянной. Из соображений здравого смысла помню, что он маленький, но вот насколько маленький... У постоянных Авогадро, Больцмана и Планка, наоборот, помню только порядок (что, в принципе, намного полезнее, чем помнить только мантиссу).

[Metford]

Pphantom в сообщении #1189746 писал(а):

Патологическая любовь к системе СИ (или, иногда, к какой-то другой, но опять-таки одной конкретной). Как следствие, восприятие любых значений (даже собственноручно полученных в других единицах) как значений в СИ, а также стремление все и всегда перевести в нее, даже если это явно излишне.

Pphantom
Это ещё не худший вариант. Есть ещё полное игнорирование соображений размерности в принципе. Я совсем простые вещи имею в виду - вроде того, что люди вообще не беспокоятся, вычитая из массы единицу (просто единицу) или получая ответ для силы с размерностью длины.
Это тоже тяжёлое наследие школы. Выбивается - при правильной постановке дела - на зачёте в первом же семестре.

А по поводу порядка констант - студенты сейчас плохо представляют себе порядки величин в принципе. Они не представляют себе, что такое 1 Кулон, 1 Ампер, 1 Фарад, 1 Тесла и т.п. А иногда встречаются и совсем анекдотичные случаи из этой серии даже на более простых величинах.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1189757 писал(а):

Спасибо за прекрасный список. Поймал себя на том, что тоже не помню порядок гравитационной постоянной.

Поймал себя на том, что не помню ни мантиссы, ни порядка. Мне она вообще не нужна. Но если бы была бы нужна, то прикинул бы через массу Земли. А массу Земли через её радиус (слава Друме, помню, 6300... или 6400... короче, надо 40 тысяч поделить на $2\pi$), и среднюю плотность "как у камня", то есть примерно 5 (вторую цифру мантиссы уже не помню, ну и фиг с ней). В общем, выкрутился бы. (Собственно, измерение гравитационной постоянной Кавендишем и называлось не "измерение гравитационной постоянной", а "взвешивание Земли".)

Зато помню "шесть-на-десять-в-двадцать-третьей". А заряд электрона - опять нет. Зато помню, что электрон-вольт - это 11604 градусов Кельвина.

[g______d]

Pphantom в сообщении #1189746 писал(а):

Предполагается, что все можно и нужно считать с той точностью, которую позволяет калькулятор.

Да, сколько раз, пока учился, видел в чужих лабах $2.35426412\pm 0.52345223$...

[Mihr]

То, что вспомнилось с ходу.

Примеры из математики:
1. Неумение строить отрицания. Скажем, вызубрив фразу "система векторов линейно зависима, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору" ряд первокурсников продолжает так: "а если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная НЕнулевому вектору, то данная система векторов линейно НЕзависима".
2. Непонимание того, что ответ задачи может выглядеть различно. Помню, как один старшеклассник впал в ступор из-за того, что три способа взятия неопределённого интеграла $\int\sin x \cos x dx$ - а) принять за новую переменную $\sin x$, б) принять за новую переменную $\cos x$ в) воспользоваться вначале формулой синуса двойного угла - приводят к трём совершенно различным (с его точки зрения) ответам.
3. Довольно частой проблемой является непонимание метода полной математической индукции (или просто неумение строить индуктивное доказательство).

Примеры из физики:
1. Непонимание 3-го закона Ньютона. Попытка сложения сил, приложенных к разным телам.
2. Забывание о векторном характере ряда физических величин. Как следствие - попытка интегрировать модуль вектора там, где нужно интегрировать по отдельности его каждую компоненту.
Вот характерный пример: topic88416.html
3. Непонимание того, что в любом сечении проводника (не имеющего ответвлений) сила тока в стационарном режиме одна и та же. Ряд студентов искренне недоумевает: "Как же так, ведь ток прошёл через резистор! За резистором сила тока должна быть меньше, чем перед ним!"
4. (Это, скорее, к вопросу о невнимательности, но всё же). Смешивание величин, традиционно обозначаемых одинаковыми буквами. Некоторые студенты и школьники вполне способны спутать константу $k$ из закона Кулона с постоянной Больцмана, а температуру со временем. А иные даже заряд электрона с математической константой $e$ (неперовым числом).

[Metford]

Mihr в сообщении #1189776 писал(а):

Смешивание величин, традиционно обозначаемых одинаковыми буквами

Хотите хороший пример? Вольт-амперная характеристика представлена без подписи. При мне на провоцирующий вопрос преподавателя "Это график зависимости момента инерции от потенциальной энергии?" студент отвечает "Да".

Кстати, вот ещё вспомнилось. При вычислении момента инерции тел студенты зачастую в интеграле вместо квадрата расстояния до оси ставят квадрат того расстояния, которое им больше нравится. Типичнейший пример - вычислять момент инерции шара относительно оси через его центр и получить $\frac{3}{5}mR^2$ - это наверняка видел каждый преподаватель.

[Mihr]

Metford, спасибо за примеры. Кстати, по поводу

Metford в сообщении #1189759 писал(а):

Есть ещё полное игнорирование соображений размерности в принципе.

+100500

-- 04.02.2017, 20:55 --

Munin в сообщении #1189770 писал(а):

прикинул бы через массу Земли. А массу Земли через её радиус (слава Друме, помню, 6300... или 6400... короче, надо 40 тысяч поделить на $2\pi$), и среднюю плотность "как у камня", то есть примерно 5

Почему-то вспомнился вот этот пост.

[Yadryara]

Попробую прямо сейчас исправить ошибку.

Munin в сообщении #1189770 писал(а):

Поймал себя на том, что не помню ни мантиссы, ни порядка. Мне она вообще не нужна. Но если бы была бы нужна, то прикинул бы через массу Земли.
[...]
Зато помню "шесть-на-десять-в-двадцать-третьей".

А я помню "шесть-на-десять-в-двадцать-четвёртой". Это в килограммах.

А "в 23-й", это в чём?? И приставок-то таких не видно.

[Metford]

Yadryara в сообщении #1189837 писал(а):

А "в 23-й", это в чём?? И приставок-то таких не видно.

А это в постоянной Авогадро...

[Yadryara]

Metford, понятно. А что, хорошее правило для запоминания массы Земли в кг.

[EtCetera]

Масса Земли гораздо проще запоминается с помощью звучного слова "секстиллион". Значение при этом выражено в тоннах. Перед секстиллионом стоит, как ни странно, тоже... секс.

[SomePupil]

Еще одной проблемой является бездумное следование шаблонам. Препод по матану постоянно нас на этом ловит:

В конце семестра он открыл нам новый мир $-$ принес из музея круглые логарифмические линейки и показал, как им пользоваться. Мы были просто в восторге от того, что числа можно умножать и возводить в степень чисто механическим способом, и сразу же стали практиковаться.

Сначала дело шло гладко, и мы чертовски быстро умножали двухзначные и трехзначные числа, но потом препод как бы невзначай попросил нас умножить какое-то число на отрицательное, и мы, отсчитав положительное число по часовой стрелке, по инерции прокрутили второй множитель против часовой, и получили соответсвующий "результат". Потом препод дал то же самое задание, только с большим отрицательным числом, и мы почувствовали, что что-то не так, когда стрелка дошла до начала, и шкала закончилась...

Ну, и второй случай. Мы разлагали функции в ряды Тейлора. Разложили экспоненту, синус и косинус. Потом очередь дошла до логарифма $\ln(1+x)$. Тут препод тоже как бы "случайно" подсунул нам большую по значению $x$. И, слишком увлеченные процессом, мы не заметили, что ряд не сходится. Правда, коварный препод потом попытался словить на на $(1+x)^\alpha$, но это уже не прокатило.

Вот к каким случаям может привести бездумное следование за установленным шаблоном.

[Mihaylo]

В данной теме ученические ошибки довольно часто путаются с ученическими заблуждениями (а это учительские недоработки). Ну да ладно, наверное по замыслу топик-стартера хотелось говорить именно о втором.