Erleker, потому что с разных сторон от граничной поверхности могут быть использованы разные системы координат. Например, в одной из систем координат метрика диагональна, а в другой не диагональна. Недиагональная компонента одной из метрик на граничной поверхности не обязана обращаться в ноль, но, при этом, разумеется, индуцированные метрики граничной поверхности должны быть эквивалентными.
Хотелось бы прояснить этот вопрос.
Я вам представлю 2 метрики - диагональная и недиагональная. Это внутренние решения коллапса однородной пыли, записанные в шварцшильдовских координатах. (из одной статьи взял).


![$$ds^2=\frac{4(y_1-1)^2}{(2r+R^3-3R^2)^2}[\frac{r^2(r-R^3)}{Ry{_1}^3}dt^2-\frac{rR}{y_1-1}dr^2+\frac{r^2(1-R)}{y_1^{3/2}(y_1-1)}drdt]-r^2(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$$ $$ds^2=\frac{4(y_1-1)^2}{(2r+R^3-3R^2)^2}[\frac{r^2(r-R^3)}{Ry{_1}^3}dt^2-\frac{rR}{y_1-1}dr^2+\frac{r^2(1-R)}{y_1^{3/2}(y_1-1)}drdt]-r^2(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/8/b78b0906b947114270a5871ed797fe1882.png)

Координата

безразмерна и граница здесь

, а

в единицах

.
Авторы сшивают именно так, как и у Вайнберга и у Оппенгеймера Снайдера, то есть все метрические компоненты на

совпадают , но можно проверить , что и трехмерные метрики на границе совпадают также :

Перекрестный член

на границе. То есть непрерывность показывают. Гладкость никто и нигде не показывает.
Чтобы не вдаваться в сложные вычисления, объясню на пальцах как они получены. Стандартное решение Толмена о коллапсирующей пыли (ЛЛ-2 пар. 103

) переведено в координаты Шваршильда, только во втором случае не требовали , чтобы

, поскольку непонятно из каких соображений Оппенгеймер и Снайдер добавили именно его.
(Кстати ни Вайнберг ни ЛЛ-2 не проверяли гладкость).
Что скажите?