Гравитационный парадокс проколотого шара

[Erleker]

Vince Diesel в сообщении #1189483 писал(а):

Не водится ли этот парадокс к тому, что $g_{ij}$ непрерывны, а $G_{ij}$ непрерывными быть не обязаны? Скажем, разрывны на поверхности тела?

Нет.Если рассмотреть очень маленькую трубку, то одинаковость $g_{ik}$ на границе означает одинаковые производные всех порядков по $r$ (вдоль трубки) и в ее центре они сильно отличаться так же не будут.(В пределе $d \to 0$ будет такой же $G_{ik}$)
А вот на поверхности шара, да , действительно $g_{ik}$могут приведены к одному значению, а $G_{ik}$ иметь разрывы.
Тут же все сложнее.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #1189484 писал(а):

А в ОТО нет трудностей с бесконечно тонкими массивными поверхностями, подобных тем, что имеются с материальными точками?

Хороший вопрос.

[Vince Diesel]

Erleker в сообщении #1189491 писал(а):

Нет.Если рассмотреть очень маленькую трубку, то одинаковость $g_{ik}$ на границе означает одинаковые производные всех порядков по $r$ (вдоль трубки) и в ее центре они сильно отличаться так же не будут.(В пределе $d \to 0$ будет такой же $G_{ik}$)
А вот на поверхности шара, да , действительно $g_{ik}$могут приведены к одному значению, а $G_{ik}$ иметь разрывы.
Тут же все сложнее.

Так чем внешняя поверхность шара отличается от внутренней, где цилиндр выпилен? И для непрерывности $G$ надо чтобы $G$ мало менялось, а не $g$.

Рассмотрим классический вариант задачи. Пусть плотность тела равна единице. Тогда его потенциал $U$ будет непрерывной функцией во все пространстве. Также как и сила $\nabla U$. При $d\to+0$ эти величины будут стремиться к таковым для шара. Однако производные силы вообще-то будут разрывны, поскольку $\Delta U=\operatorname{div}\nabla U=1$ внутри тела, но $\Delta U=0$ на оси цилиндра. Есть ли в этом парадокс?

И если переписать это в ваших терминах, не получится ли совершенно случайно для слабого поля, что $g_{ij}$ зависят как раз от $\nabla U$?

[Erleker]

Vince Diesel в сообщении #1189514 писал(а):

Так чем внешняя поверхность шара отличается от внутренней, где цилиндр выпилен? И для непрерывности $G$ надо чтобы $G$ мало менялось, а не $g$.

То, что нужно для сшивки написал SergeyGubanov.Равенство при этом метрического тензора на границе - вовсе не обязательное условие.
И в данном случае его не будет.
А вот на поверхности сферы вещества можно сшить так, что метрический тензор будет одинаков.

Vince Diesel в сообщении #1189514 писал(а):

Однако производные силы вообще-то будут разрывны, поскольку $\Delta U=\operatorname{div}\nabla U=1$ внутри тела, но $\Delta U=0$ на оси цилиндра. Есть ли в этом парадокс?

Нет, почему?

Vince Diesel в сообщении #1189514 писал(а):

И если переписать это в ваших терминах, не получится ли совершенно случайно для слабого поля, что $g_{ij}$ зависят как раз от $\nabla U$?

Вы что-то путаете.Для слабого поля метрический тензор зависит от ньютоновского потенциала, а никак не от силы.

[Z.S.]

SergeyGubanov в сообщении #1189475 писал(а):

Z.S., метрика должна быть не сферически симметричная, а осе симметричная.

Да, по инерции, сдуру скопировал не глядя (дури много).

Пока что вот нарисовал рисунок к задаче, чтобы приблизительно проиллюстрировать результаты измерений на оси, при постепенном переходе от пустого пространства к эталонному распределению вещества ( эталонное распределение - шар $A$).



Красное - результат измерений для сплошного шара - эталон-ограничение сверху.
Зеленое - пустое пространство - эталон-ограничение снизу.
Желтое и синее - промежуточные результаты при разном отношении ($d/D$)

Vince Diesel в сообщении #1189483 писал(а):

Не водится ли этот парадокс к тому, что $g_{ij}$ непрерывны, а $G_{ij}$ непрерывными быть не обязаны? Скажем, разрывны на поверхности тела?

Есть ли на самом деле "парадокс" - это еще бабка надвое сказала. Но вот у меня и вопрос возник поэтому, что когда я смотрю, что при уменьшении отверстия до нуля, мы в итоге получим красную кривую, которой соответствует $G_{00}\neq0 $. А все что ниже красной линии - это уже вроде как вакуумное должно быть, $G_{00}=0 $. Я не могу понять, как при практически одинаковых $\mu(R)$ у красной границы, можно получить разрыв для $G_{00} $.

[Vince Diesel]

Как выражается $G$ через $g$ (а раз поле слабое, то через $U$)? Или хоть производные какого порядка от $g$ (или $U$) входят в $G$?

[Geen]

warlock66613 в сообщении #1189484 писал(а):

А в ОТО нет трудностей с бесконечно тонкими массивными поверхностями, подобных тем, что имеются с материальными точками?

http://www.physics.uoguelph.ca/poisson/research/agr.pdf лекции на английском (главы 3.4, 3.7); почти тоже самое есть в МТУ, только без случая изотропных поверхностей.

-- 05.02.2017, 01:54 --

Erleker в сообщении #1189521 писал(а):

Равенство при этом метрического тензора на границе - вовсе не обязательное условие.

Обязательное. Но не достаточное.
(Естественно, речь об индуцированных на поверхность метриках)

[Z.S.]

Vince Diesel в сообщении #1189664 писал(а):

Как выражается $G$ через $g$ (а раз поле слабое, то через $U$)? Или хоть производные какого порядка от $g$ (или $U$) входят в $G$?

Сам $g_{ij}$, его первые и вторые производные.

Может быть такой вопрос будет более удачным, чем те, что я ранее пытался задавать:

Можно ли, решая уравнение $G_{00}^{B}=0$ для поля на оси отверстия , найти функцию $\mu ^{A}(R)$ для сплошного шара, как предельный случай $\mu ^{B}(R,d)$ при $d\rightarrow 0$, т.е. так , чтобы получить $\mu ^{A}(R)=\lim\limits_{d\to 0}(\mu ^{B}(R,d))$

[Vince Diesel]

Ну так если $g_{ij}$ выражаются через $U$, а в $G_{ij}$ входят вторые производные, то некоторые $G_{ij}$ будут разрывны на границе, поскольку часть производных $\partial_{ij}U$ разрывны там.

[Erleker]

Geen в сообщении #1189851 писал(а):

Обязательное.
(Естественно, речь об индуцированных на поверхность метриках)

Для 3-х мерной гиперповерхности:

$$g^{A}_{\mu \nu}(x_A(z)) \frac{\partial x^{\mu}_{A}}{\partial z^i} \frac{\partial x^{\mu}_{A}}{\partial z^j}= g^{B}_{\mu \nu}(x_B(\tilde{z})) \frac{\partial x^{\mu}_{B}}{\partial \tilde{z}^i} \frac{\partial x^{\mu}_{B}}{\partial \tilde{z}^j}, $$

Но при этом 4-х метрика же вовсе не обязана не иметь разрыв?

Geen в сообщении #1189851 писал(а):

Но не достаточное.

Это понятно.

[Geen]

Erleker в сообщении #1189882 писал(а):

Но при этом 4-х метрика же вовсе не обязана не иметь разрыв?

Не очень понятно про какой разрыв тут речь..

[Erleker]

Geen
Не обязательно можно выбрать такие координаты в веществе и в пустой области, что бы 4-мерный метрический тензор (не индуцированный на поверхность 3 - мерный, а именно 4-мерный) одновременно во всех точках на граничной поверхности был одинаков.
В данном случае так не выйдет.

SergeyGubanov в сообщении #1189256 писал(а):

Z.S., формула (2) не верна в принципе. Можно говорить о сшивке двух решений на границе. Сшивка двух решений на границе делается вовсе не приравниванием метрических тензоров $g^{A}_{\mu \nu}(x_A)$ и $g^{B}_{\alpha \beta}(x_B)$

Поэтому, собственно говоря, парадокса и нет.Вы согласны?

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1189295 писал(а):

Erleker, потому что с разных сторон от граничной поверхности могут быть использованы разные системы координат. Например, в одной из систем координат метрика диагональна, а в другой не диагональна. Недиагональная компонента одной из метрик на граничной поверхности не обязана обращаться в ноль, но, при этом, разумеется, индуцированные метрики граничной поверхности должны быть эквивалентными.

Хотелось бы прояснить этот вопрос.
Я вам представлю 2 метрики - диагональная и недиагональная. Это внутренние решения коллапса однородной пыли, записанные в шварцшильдовских координатах. (из одной статьи взял).

$$ds^2=\frac{(y-1)^2r^2}{Ry^3(r-R^3)}dt^2-\frac{r}{(r-R^3)}dr^2-r^2(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$$

$$y=y(r,R)\quad y(r,1)=r$$

$$ds^2=\frac{4(y_1-1)^2}{(2r+R^3-3R^2)^2}[\frac{r^2(r-R^3)}{Ry{_1}^3}dt^2-\frac{rR}{y_1-1}dr^2+\frac{r^2(1-R)}{y_1^{3/2}(y_1-1)}drdt]-r^2(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$$

$$y_1=y_1(r,R)\quad y_1(r,1)=r$$

Координата $R$ безразмерна и граница здесь $R=1 $, а $r$ в единицах $r_g$.
Авторы сшивают именно так, как и у Вайнберга и у Оппенгеймера Снайдера, то есть все метрические компоненты на $R=1$ совпадают , но можно проверить , что и трехмерные метрики на границе совпадают также :

$$ds_{3}^{+}=ds_{3}^{-}$$

Перекрестный член $g_{rt}=0$ на границе. То есть непрерывность показывают. Гладкость никто и нигде не показывает.

Чтобы не вдаваться в сложные вычисления, объясню на пальцах как они получены. Стандартное решение Толмена о коллапсирующей пыли (ЛЛ-2 пар. 103 $f=0$) переведено в координаты Шваршильда, только во втором случае не требовали , чтобы $g_{tr}=0$, поскольку непонятно из каких соображений Оппенгеймер и Снайдер добавили именно его.

(Кстати ни Вайнберг ни ЛЛ-2 не проверяли гладкость).

Что скажите?

[schekn]

Может я как-то сложно задал вопрос?
Получены две метрики внутри шарового облака в стандартных координатах.
Они , по мнению авторов (и мне так кажется) сшиваются с вакуумной метрикой Шварцшильда.

$$ds^2=\frac{r-1}{r}dt^2-\frac{r}{r-1}dr^2-r^2(d{\theta}^2+\sin^2d{\theta}d{\varphi}^2)$$

По крайней мере непрерывность компонент соблюдается.