Гравитационный парадокс проколотого шара

[Z.S.]

Мне кажется парадоксальным вот что:

Представим, что вакууме покоится тяжелый шар диаметром $D$ . Через центр шара, насквозь-диаметрально, проделано ("проколото") отверстие маленького диаметра $d<<D$. Нас интересует поле в вакууме, на оси отверстия. Поле считаем слабым.

Рассмотрим два объекта:

1. Объект $A$ - это сплошной шар.
2. Объект $B$ - это шар с отверстием.

Для внутреннего решения:

Для шара $A $ есть известное решение, и соответственно должно получиться

$G_{ij}^{A} \neq 0 \;\; (1) $

Теперь переходим к шару $B$. Нас интересует поле в вакууме, на оси проколотого отверстия. Кажется разумным полагать, что при стремлении диаметра отверстия к нулю, при соответствующем сравнении, будет складываться следующая ситуация

$ (d\rightarrow 0) \rightarrow \ (g_{ij}^{B}\rightarrow g_{ij}^{A})\;\; (2) $

Т.е. картина поля на оси отверстия шара $B$ будет все более точно приближаться к картине поля шара $A$, по мере уменьшения диаметра отверстия.

Тогда, из $(2)$ следует, что для любого, сколь угодно малого $ \varepsilon \neq0$, можно будет найти такое $d_{\varepsilon }=d(\varepsilon )\neq 0$, что, при соответствующем сравнении, будет выполняться

$ \left |G_{ij}^ {A}-G_{ij}^{B} \right |<\varepsilon \;\; (3) $

Однако, у нас есть также условие для поля в вакууме, на оси отверстия шара $B$

$G_{ij}^{B}= 0\;\; (4) $

Но условие $(4) $ противоречит выводу $(3)$. Это сильно похоже на парадокс.

[AnatolyBa]

А почему у вас то $g$ то $G$?

[piksel]

Тензор $G_{ij}$ зависит от производных $g_{ij}$. Если для метрических коэффициентов будет выполняться (2), то это не значит, что из него следует (3).

[Erleker]

А зачем, позвольте, тут теория относительности?Вы подобный "парадокс" могли бы построить много для чего(то, что любое вещество имеет "дыры" между частицами вас не смущает? ).
По существу:
Ошибочно конкретно вот это утверждение:

Z.S. в сообщении #1188253 писал(а):

Однако, у нас есть также условие для поля в вакууме, на оси отверстия шара $B$

$G_{ij}^{B}= 0\;\; (4) $

Уравнения Эйнштейна, вариация действия материи $\delta S_{m}(\delta g_{ik})$ по метрике в частности, вообще говоря, выводятся ,считая, что материя непрерывна.

Если, например, на поверхности симметричного шара, вы можете сказать, типа "вот граница", дальше $G_{ik}=0$ (и решения нормально сшиваются), то делать это в какой-то "криво" выколотой очень тонкой области внутри вещества и говорить "все, тут вакуум и производных нет" - большая ошибка.

Аппарат ОТО так не устроен.Уравнения Эйнштейна не являются критерием наличия/отсутствия вещества в данной точке.Они рассчитаны на непрерывность.А если разрыв есть - то считается "усреднено".Как в решении Фридмана для вселенной, например. Там плотность вселенной постоянная величина.

То есть в описанном случае ($d\approx 0$), метрику и, соответственно, ее производные можно приблизительно считать такими же, как и в случае A.

[SergeyGubanov]

Z.S., формула (2) не верна в принципе. Можно говорить о сшивке двух решений на границе. Сшивка двух решений на границе делается вовсе не приравниванием метрических тензоров $g^{A}_{\mu \nu}(x_A)$ и $g^{B}_{\alpha \beta}(x_B)$, так как с разных сторон от границы, вообще говоря, могут быть использованы разные системы координат $x^{\mu}_{A}$ и $x^{\mu}_{B}$. Для сшивки двух решений нужно требовать чтобы на границе индуцировалась одна и та же геометрия.

Пусть $z^i$ -- некоторые координаты на граничной поверхности, тогда решение $A$ индуцирует на граничной поверхности метрику $\gamma^{A}_{i j}(z)$ такую что:

$$ \gamma^{A}_{i j}(z) = g^{A}_{\mu \nu}(x_A(z)) \frac{\partial x^{\mu}_{A}}{\partial z^i} \frac{\partial x^{\mu}_{A}}{\partial z^j}, $$

одновременно, решение $B$ индуцирует на той же самой граничной поверхности метрику $\gamma^{B}_{i j}(\tilde{z})$ такую что:

$$ \gamma^{B}_{i j}(\tilde{z}) = g^{B}_{\mu \nu}(x_B(\tilde{z})) \frac{\partial x^{\mu}_{B}}{\partial \tilde{z}^i} \frac{\partial x^{\mu}_{B}}{\partial \tilde{z}^j}, $$

причём $\tilde{z}^i$ -- вообще говоря некая другая система координат не совпадающая с $z$. Условие сшивки - это требование чтобы $\gamma^{A}_{i j}(z)$ и $\gamma^{B}_{i j}(\tilde{z})$ описывали одну и ту же геометрию, то есть они должны быть связаны друг с другом преобразованием $z$, $\tilde{z}$ координат:

$$ \gamma^{A}_{i j}(z) = \gamma^{B}_{k l}(\tilde{z}) \frac{\partial \tilde{z}^{k}}{\partial z^i} \frac{\partial \tilde{z}^{l}}{\partial z^j} $$

Erleker, я с Вами не согласен. Если классическое макроскопическое вещество (речь не об атомах) имеет "дырки", то и тензор Эйнштейна тоже должен их иметь.

[Z.S.]

Просто я исходил из того, что для случая $A$, сплошного шара, в изотропных координатах, например

$\frac{8\pi G}{c^4}T_{00}=-\mu ''-\frac{\mu '^2}{4}-\frac{2\mu '}{R}\; \; (A)$

А для случая $B$, для поля на оси отверстия (т.е. в вакууме)

$0=-\mu ''-\frac{\mu '^2}{4}-\frac{2\mu '}{R}\; \; (B)$

Взять, например, такой шар с отверстием :

$D=10^6 \text{м}$, $d=10^{-3}\text{м}$, $\rho=10^4 \text{кг}/ \text{м}^3$

Задача - найти функцию $\mu_B=\mu_B(R) $ на оси отверстия. Можно, для удобства, считать, что $T_{00}= \operatorname{const}$.

Erleker. Так называемый "парадокс" - это (с очень большой вероятностью) следствие элементарного (моего) непонимания элементарных вещей.

Но вот

SergeyGubanov в сообщении #1189256 писал(а):

Erleker, я с Вами не согласен. Если классическое макроскопическое вещество (речь не об атомах) имеет "дырки", то и тензор Эйнштейна тоже должен их иметь.

Кроме того, можно же начать с $d=10^{3}\text{м}$ и постепенно довести до $d=10^{-3}\text{м}$. Где тот критерий, когда уже можно начать усреднять, и когда еще нельзя? Когда, на каком диаметре отверстия, решение "переходит" от вакуумного к невакуумному?

[Erleker]

SergeyGubanov в сообщении #1189256 писал(а):

формула (2) не верна в принципе. Можно говорить о сшивке двух решений на границе. Сшивка двух решений на границе делается вовсе не приравниванием метрических тензоров $g^{A}_{\mu \nu}(x_A)$ и $g^{B}_{\alpha \beta}(x_B)$, так как с разных сторон от границы, вообще говоря, могут быть использованы разные системы координат $x^{\mu}_{A}$ и $x^{\mu}_{B}$.

Если действительно не накладывать условие для граничного равенство метрик, то я с вами согласен:

SergeyGubanov в сообщении #1189256 писал(а):

Если классическое макроскопическое вещество (речь не об атомах) имеет "дырки", то и тензор Эйнштейна тоже должен их иметь.

Но почему вы считаете, что оно необязательно?

[SergeyGubanov]

Erleker, потому что с разных сторон от граничной поверхности могут быть использованы разные системы координат. Например, в одной из систем координат метрика диагональна, а в другой не диагональна. Недиагональная компонента одной из метрик на граничной поверхности не обязана обращаться в ноль, но, при этом, разумеется, индуцированные метрики граничной поверхности должны быть эквивалентными.

[Erleker]

SergeyGubanov Могут - это понятно.Но почему нельзя по обе стороны выбрать такую, которая бы сшивались с граничными условиями?Как вы вообще учтете влияние окружающего полость вещества?

[SergeyGubanov]

Erleker, что конкретно не понятно в следующем объяснении:

Есть два псевдоримановых многообразия $A$ и $B$ размерности $4$, в одном задана система координат $x^{\mu}_A$ и метрика $g^{A}_{\mu \nu}(x_A)$, а в другом задана система координат $x^{\alpha}_B$ и метрика $g^{B}_{\alpha \beta}(x_B)$.

Есть псевдориманово многообразие $\Gamma$ размерности $3$. Оно может быть вложено и в $A$ и в $B$. Другими словами многообразие $\Gamma$ является гиперповерхностью в $A$, а так же гиперповерхностью в $B$

Интерпретация:

• многообоазие $A$ является решением уравнений ОТО в веществе,
• многообразие $B$ является решением уравнений ОТО в вакууме,
• гиперповерхность $\Gamma$ является границей вещество/вакуум.

Уравнение гиперповерхности $\Gamma$ в многообразии $A$:

$$ x^{\mu}_A = X^{\mu}_A (z), $$

здесь $z^i$ -- какая-то трёхмерная система координат заданная на $\Gamma$.

Уравнение гиперповерхности $\Gamma$ в многообразии $B$:

$$ x^{\alpha}_B = X^{\alpha}_B (\tilde{z}), $$

здесь $\tilde{z}^i$ -- какая-то (другая) трёхмерная система координат заданная на $\Gamma$.

Можно разрезать многообразие $A$ вдоль гиперповерхности $\Gamma$, разрезать многообразие $B$ вдоль гиперповерхности $\Gamma$, а затем разрезанные части соединить, при этом, очевидно, на гиперповерхности $\Gamma$ будут выполняться следующие соотношения:

$$ g^{A}_{\mu \nu}(x_A(z)) \frac{\partial x^{\mu}_{A}}{\partial z^i} \frac{\partial x^{\nu}_{A}}{\partial z^j} = g^{B}_{\alpha \beta}(x_B(\tilde{z}(z))) \frac{\partial x^{\alpha}_{B}}{\partial \tilde{z}^k } \frac{\partial x^{\beta}_{B}}{\partial \tilde{z}^l } \frac{\partial \tilde{z}^{k}}{\partial z^i} \frac{\partial \tilde{z}^{l}}{\partial z^j} $$

Эти соотношения являются уравнениями сшивки многообразий $A$ и $B$ вдоль гиперповерхности $\Gamma$.

[Erleker]

SergeyGubanov Да, вы правы, это достаточное условие для "сшивки" геометрии и вовсе не обязательно $g_{ik}$ будут одного вида.

[Z.S.]

Рисунок - разрез шара с отверстием:



1. Если отношение $d/D=0$, то получается сплошной шар $A$.

2. Если отношение $0<d/D<1$, то получается шар c отверстием $B$.

3. Если отношение $d/D=1$, то шар исчезает и остается только пустое пространство.

Нас интересует поле на оси отверстия.

$ds^{2}=e^{\nu }c^{2}dt^{2}-e^{\mu}(dR^{2}+R^2d\theta ^2+R^2\sin^{2}\theta d\varphi ^2 ),\;\;\nu = \nu(R), \; \;\mu =\mu(R)\;\;(5)$

Расположим на оси отверстия некоторое количество наблюдателей с часами и линейками. Производя измерения, мы сможем построить соответствующие графики $g_{ij}=g_{ij} (R)$.

Значит, мы сможем построить графики функций $\nu = \nu(R)$ и $ \mu =\mu(R)$.

Выбирая различную величину отношения $d/D$, и произведя измерения, мы будем иметь в наличии набор функций $\nu_k = \nu_k(R)$ и $ \mu_k =\mu_k(R)$ соответствующим образом отражающих различные физические ситуации.

Сплошному шару пусть соответствуют функции $\nu^{A} = \nu^{A}(R)$ и $ \mu^{A} =\mu^{A}(R)$.

Т.о., смысл, который я хотел вложить в утверждение $(2)$, практически заключается в том, что при $d=0$ шар $B$ превращается в шар $A$, а значит выполняется $g_{ij}^{B}=g_{ij} ^{A}$ и $G_{ij}^{B}=G_{ij} ^{A}$.

По результатам измерений можно составить две вспомогательные функции

$f_{\nu}(R,d)= \nu^{A}(R)-\nu(R,d),\;\;f_{\mu}(R,d)= \mu^{A}(R)-\mu(R,d)$

Можно построить графики поверхностей, отвечающие различным $R$ и $d$. Но ясно по построению, что из $d=0$, следует $f_{\nu}(R,d)=0$ и $f_{\mu}(R,d)=0$.

Т.о. я говорил о нехитром факте: при стремлении распределения материи к эталонному (за эталон считаем сплошной шар $A$) результаты измерений будут стремиться все более точно совпасть с эталонными результатами.

AnatolyBa в сообщении #1188275 писал(а):

А почему у вас то $g$ то $G$?

Зная например $g_{11}(R)$ а значит и $\mu(R) $ , можно вычислить например $G_{00}(R)$.

----------------------------

Предлагаю пока забыть о "парадоксе" и начать с чистого листа. Например решить такую задачу - найти $ \mu^{B} =\mu^{B}(R)$ на оси отверстия шара $B$, при заданном отношении $d/D$ и слабом поле, положив для удобства $T_{00}=\operatorname{const}$. Координаты изотропные.

[SergeyGubanov]

Z.S., метрика должна быть не сферически симметричная, а осе симметричная.

Erleker, как подсказывает Geen, ещё есть случай когда материя расположена на самой поверхности (массивная бесконечно тонкая поверхность). Я не знаю надо ли (и если надо то как именно) модифицировать вешенаписанную мной формулу "сшивки". Если кто-то знает, то пусть напишет.

[Vince Diesel]

Не водится ли этот парадокс к тому, что $g_{ij}$ непрерывны, а $G_{ij}$ непрерывными быть не обязаны? Скажем, разрывны на поверхности тела?

[warlock66613]

А в ОТО нет трудностей с бесконечно тонкими массивными поверхностями, подобных тем, что имеются с материальными точками?