Пусть

--- эпиморфизм,

--- максимальный идеал в

.
1)

--- идеал в

(вообще, если мы берём произвольный гомоморфизм, то образ идеала, даже максимального, не обязан быть идеалом, но при эпиморфизме образ идеала --- всегда идеал).
2) Пусть

--- произвольный собственный идеал в

, такой что

. Тогда

--- собственный идеал в

, содержащий

(прообраз идеала всегда идеал, это верно при любом гомоморфизме, а вот для того, чтобы прообраз у собственного идеала был собственным, уже нужна сюрьективность). Так как

максимален, то

, так что

.
3) Мы показали, что любой собственный идеал в

, расширяющий

, совпадает с

. Значит,

--- максимальный идеал в

по определению. Всё
4) Вообще-то возможен ещё вариант

. Мы считаем, что он не имеет места и что это подразумевается в условии (а иначе в задаче просто просят доказать ложное утверждение).