максимальный идеал при гомоморфизме колец

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста с задачей.

Доказать, что образ максимального идеала при гомоморфизме кольца А на кольцо В есть максимальный идеал.

Мне кажется, что нужно для этого доказать инвариантность включения идеалов относительно отображения, но что-то не выходит.

[Dan B-Yallay]

Я не алгебраист, но мне кажется там что-то с фактор кольцом по максимальному идеалу и полученному полю.

[Профессор Снэйп]

ShMaxG писал(а):

Доказать, что образ максимального идеала при гомоморфизме кольца А на кольцо В есть максимальный идеал.

Прообраз собственного идеала относительно эпиморфизма --- собственный идеал.

P. S. ShMaxG, что у Вас все задачи такие лёгкие, в одну строчку? Не стыдно потом решения читать?

[ShMaxG]

Профессор Снэйп
Стыдно.

Что такое эпиморфизм?

Добавлено спустя 11 минут 45 секунд:

вы мне заменяете на некоторое время семинариста)

[Профессор Снэйп]

ShMaxG писал(а):

Что такое эпиморфизм?

Эпиморфизм --- это сюрьективный гомоморфизм. То есть гомоморфизм из $A$ в $B$, образ которого совпадает со всем $B$.

Как раз то, что у Вас:

ShMaxG писал(а):

...при гомоморфизме кольца А на кольцо В...

Слово "на" здесь ключевое

Добавлено спустя 1 минуту 7 секунд:

Вам изложенной идеи было достаточно или развернуть подробнее?

[ShMaxG]

А почему для максимального идеала прообразом будет именно максимальный?

[Профессор Снэйп]

Пусть $\phi: A \to B$ --- эпиморфизм, $I$ --- максимальный идеал в $A$.

1) $\phi(I)$ --- идеал в $B$ (вообще, если мы берём произвольный гомоморфизм, то образ идеала, даже максимального, не обязан быть идеалом, но при эпиморфизме образ идеала --- всегда идеал).

2) Пусть $J$ --- произвольный собственный идеал в $B$, такой что $\phi(I) \subseteq J$. Тогда $\phi^{-1}(J)$ --- собственный идеал в $A$, содержащий $I$ (прообраз идеала всегда идеал, это верно при любом гомоморфизме, а вот для того, чтобы прообраз у собственного идеала был собственным, уже нужна сюрьективность). Так как $I$ максимален, то $I = \phi^{-1}(J)$, так что $J = \phi(I)$.

3) Мы показали, что любой собственный идеал в $B$, расширяющий $\phi(I)$, совпадает с $\phi(I)$. Значит, $\phi(I)$ --- максимальный идеал в $B$ по определению. Всё

4) Вообще-то возможен ещё вариант $\phi(I) = B$. Мы считаем, что он не имеет места и что это подразумевается в условии (а иначе в задаче просто просят доказать ложное утверждение).

[ShMaxG]

спасибо большое))