Теория вероятностей: ребро монетки

[Лукомор]

По вопросу: каким должна быть толщина цилиндра ("толстой" монеты) по отношению к радиусу, чтобы вероятность встать на ребро была равна $\frac{1}{3}$ - см. Секей Г.
" Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике"
гл.1 пункт к, стр.68.
Краткий пересказ:

Цитата:

Обычно событие, состоящее в том, что монета встанет на ребро, не рассматривается, так как оно почти никогда не происходит. Найдем теперь размеры монеты, при которых с равными вероятностями (1/3) монета падает на ребро, герб или решку. Для простоты рассмотрим монету в виде прямого цилиндра, у которого основания соответствуют гербу и решке, а боковая поверхность - ребру монеты.
Если монета вращается вокруг оси, проходящей через центр монеты и параллельной основанию, то достаточно рассматривать сечение монеты, проходящее через центр и перпендикулярное обоим основаниям. Этим сечением является прямоугольник. Проведем окружность вокруг этого прямоугольника и точку приземления выберем случайным образом на этой окружности. Естественно считать, что монета упадет на ребро с вероятностью, равной вероятности того, что радиус, соединяющий центр и случайную точку на окружности, пересечет сторону прямоугольника, соответствующую боковой поверхности монеты. В этой модели монета становится на ребро с вероятностью 1/3, если отношение ее толщины к диаметру равно tg 30° « 0.577.
Однако проблема не сводится к задаче на плоскости, если монета может вращаться свободно, точнее, если на поверхности сферы, описанной вокруг монеты, случайно выбирается точка и мы предполагаем, что монета становится на ребро, когда радиус, соединяющий эту случайную точку с центром, пересекает боковую поверхность монеты. В этой модели выпадения герба, решки или вставание на ребро равновероятны, если отношение толщины монеты к ее диаметру равно 0.354...
Безусловно, существуют и более реалистические модели. Самой поразительной из них является та, где отношение, о котором говорилось выше, наименьшее (т. е. когда монета наиболее плоская).

[Александрович]

Вероятность вставания монеты на ребро можно свести к нулю, если заточить ребро под лезвие.

[Shtorm]

Лукомор в сообщении #1188482 писал(а):

..Если монета вращается вокруг оси, проходящей через центр монеты и параллельной основанию, то достаточно рассматривать сечение монеты, проходящее через центр и перпендикулярное обоим основаниям. Этим сечением является прямоугольник....Естественно считать, что монета упадет на ребро с вероятностью, равной вероятности того, что радиус, соединяющий центр и случайную точку на окружности, пересечет сторону прямоугольника, соответствующую боковой поверхности монеты. В этой модели монета становится на ребро с вероятностью 1/3, если отношение ее толщины к диаметру равно tg 30° « 0.577.

Спасибо за такой подробный рассказ и книгу. В такой плоской модели, если мы говорим, что монета падает на ребро - то подразумевается, что она падает либо на верхнюю часть ребра (прямоугольника), либо на нижнюю часть ребра (прямоугольника)? А для чего нужно вращение монеты вокруг своей оси? Для того чтобы исключить вращение монеты в других плоскостях? Ну и конечно же полагается, что монета упала определённой стороной - без всяких подпрыгиваний, отскоков от пола. Да? То есть, модель "липкого пола".

-- Пн янв 30, 2017 14:31:44 --

g______d в сообщении #1188467 писал(а):

Вроде говорят, что 1 к 6000

http://journals.aps.org/pre/abstract/10 ... vE.48.2547

Конечно, зависит от монеты.

Интересно увидеть их расчёт.

-- Пн янв 30, 2017 14:34:14 --

Александрович в сообщении #1188468 писал(а):

В зависимости от соотношения высоты к диаметру можно варьировать вероятностью выпадения ребра от 0 до 1.

Это при изменении соотношения от $0$ до $\infty$?

-- Пн янв 30, 2017 14:37:24 --

arseniiv в сообщении #1188470 писал(а):

Если рассматривать более-менее реальные условия даже без скольжения монеты по столу, боюсь, раздуется весьма нехилая физическая задача. Хотя, в принципе, центр масс цилиндра совпадает с геометрическим, и потому одну только устойчивость рассмотреть вполне реально. На какую поверхность монеты он проектируется отвесной прямой, ту можно считать выбранной. Это если монета ставится в таком положении на пол неподвижно. Если же у неё ненулевая скорость, о-о…

Конечно придётся идеализировать. Никаких скольжений, никаких отскоков от пола. Коснулась пола и замерла При этом задача становится сложной из-за вращения монеты в разных плоскостях одновременно при подлёте к полу? Да?

-- Пн янв 30, 2017 14:40:36 --

Александрович в сообщении #1188484 писал(а):

Вероятность вставания монеты на ребро можно свести к нулю, если заточить ребро под лезвие.

Будем считать такой случай - идеальной монетой - то есть объектом с двумя гранями. Понятно, что мы все задачки со студентами решаем именно с идеальной монетой. Думаю после первого же объяснения студенты поняли. Но их интересует случай более приближенный к реальности. Тем более, как видите, по этому поводу писали книги и статьи.

[Лукомор]

Shtorm в сообщении #1188545 писал(а):

Спасибо за такой подробный рассказ и книгу. В такой плоской модели, если мы говорим, что монета падает на ребро - то подразумевается, что она падает либо на верхнюю часть ребра (прямоугольника), либо на нижнюю часть ребра (прямоугольника)? А для чего нужно вращение монеты вокруг своей оси? Для того чтобы исключить вращение монеты в других плоскостях? Ну и конечно же полагается, что монета упала определённой стороной - без всяких подпрыгиваний, отскоков от пола. Да? То есть, модель "липкого пола".

Там, в книге, рисунок есть, поясняющий это действо...
Как я понял, если нормаль к горизонтальной поверхности пола через центр тяжести монеты проходит через ребро монеты, то монета встанет на ребро, а если через одну из сторон, то она упадет на сторону.

Вращение монеты вокруг оси, параллельной сторонам монеты, и проходящей через средину ребра монеты, это один случайный эксперимент.
Наиболее естественный. Футбольные судьи так выбор ворот разыгрывают в начале игры, и кто начинает с центра поля.
Вращение в трех плоскостях - это другой случайный эксперимент, более сложный, и дает, соответственно, другое значение вероятности.

По поводу липкого пола ничего сказать не могу, на этом нигде не акцентируется внимание.

На ваши вопросы я ответил, как мог.
В качестве бонуса вот задачка.
В детстве была игра такая, со спичечным коробком.
Коробок кладется на край стола, так, чтобы часть его выступала за край стола.
По этой выступающей части играющие по очереди снизу бьют пальцем, так что коробок подлетает вверх и падает на стол.
Если коробок падает плашмя, этикеткой вверх, игрок получает 1 очко.
Если кообок становится на боковую грань, об которую чиркают спички, результат составляет 3 очка.
И если коробок падает на торец, самую маленькую грань, ту, которую выдвигают чтобы достать спичку, за такой виртуозный удар полагалось 10 очков. Не помню, как определялся победитель, то ли нужно было первым набрать какую-то заранее оговоренную сумму очков, то ли было определенное количество туров, и победитель определялся по максимальной сумме набранных очков.
Суть в том, что размеры спичечного коробка стандартные, и можно посчитать вероятность выпадения каждой из граней.
Ну и оценить, какие грани недооценены, а какие - переоценены.
И найти ожидаемое количество очков, допустим за 10 бросков...

[wrest]

Александрович в сообщении #1188484 писал(а):

Вероятность вставания монеты на ребро можно свести к нулю, если заточить ребро под лезвие.

Наоборот, если сделать его округлым и покатым. Лезвие может воткнуться. Да и порезаться можно, небезопасно.

[Александрович]

wrest в сообщении #1188566 писал(а):

Лезвие может воткнуться.

Бросаем на стекло.

[mustitz]

Посмотрите как бросают монетку арбиты на соревнованиях: они её ловят в ладони, потом фиксируют положение и открывают.

[wrest]

(Оффтоп)

mustitz в сообщении #1188591 писал(а):

Посмотрите как бросают монетку арбиты на соревнованиях: они её ловят в ладони, потом фиксируют

Представляете, если заточить ребра монеток под лезвия?

[Александрович]

mustitz в сообщении #1188591 писал(а):

Посмотрите как бросают монетку арбиты на соревнованиях: они её ловят в ладони, потом фиксируют положение и открывают.

Тогда у них не возникает проблем с падением монеты на ребро.

[Лукомор]

(Оффтоп)

mustitz в сообщении #1188591 писал(а):

Посмотрите как бросают монетку арбиты на соревнованиях: они её ловят в ладони, потом фиксируют положение и открывают.

Не знаю, как сейчас, но до 2005 года футбольные арбитры подбрасывали монетку, и она падала на газон.
Но там же трава!!!
Видимо был прецедент, и монетка упала на ребро, между травинками, как-то...
Иначе не могу объяснить, почему они стали ловить ее в руки!

[g______d]

Shtorm в сообщении #1188545 писал(а):

Интересно увидеть их расчёт.

Ну так посмотрите, это опубликованная работа.

[Aritaborian]

(Про футбольных арбитров)

ИМХО, это зависит от арбитра: кто-то бросает на газон, кто-то ловит в ладонь.

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #1188545 писал(а):

При этом задача становится сложной из-за вращения монеты в разных плоскостях одновременно при подлёте к полу? Да?

Из-за скоростей точек монеты вообще. Она же может при касании пола иметь ненулевую скорость (в реальности после подкидывания и будет). Даже если она не отскакивает и не скользит, но останавливается только при прилипании как минимум целого отрезка своих точек к полу, а не лишь одной, придётся учитывать всё это.

[levtsn]

А что будет, если монета дорогая и в полете ее тупо стырят?

[arseniiv]

Ну, тогда нам сделают служебный выговор за потерю лабораторного оборудования.