Геометрия метрического пространства

[Anton_Peplov]

Рассмотрим произвольное метрическое пространство. Определим отрезок с концами $a, b$ как множество всех точек $x$ таких, что $\rho(a, x) + \rho (b, x) = \rho(a, b)$. Можно показать, что в $\mathbb R^n$ это действительно отрезок с концами $a, b$ в привычном смысле. Далее я для краткости буду обозначать отрезок с концами $a, b$ как $[a, b]$.
Можно определить прямую, проходящую через точки $a, b$, как объединение всех отрезков, содержащих $[a, b]$ как подмножество. При таком определении автоматически выполняется аксиома, что через любые две точки можно провести прямую, и только одну. Раз есть определения точки, отрезка и прямой, можно определить $n$-угольник как $[x_1, x_2] \cup [x_2, x_3] \cup... \cup [x_{n-1}, x_n] \cup [x_n, x_1]$, где из точек $x_1...x_n$ никакие три подряд не лежат на одной прямой. Можно определить и угол, используя два луча, выходящие из одной точки - правда, непонятно, как определить величину угла.
Вопрос: существует ли такая "метрическая геометрия" как область математики? Т.е. геометрия, которая не накладывает на пространство никаких ограничений, кроме существования метрики, при этом определяет геометрические фигуры по аналогии с $\mathbb R^n$ (как показано выше или другим способом) и доказывает про них теоремы? Или в таких общих условиях почти ничего доказать нельзя?

[Brukvalub]

Полезно сопоставить вами сказанное с теорией геодезических на Римановых многообразиях.

[Someone]

В общих метрических пространствах, по-моему, ничего интересного не получается.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1186791 писал(а):

Можно определить прямую, проходящую через точки $a, b$, как объединение всех отрезков, содержащих $[a, b]$ как подмножество. При таком определении автоматически выполняется аксиома, что через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

А если прямая была проведена через точки $a,b$ и оказалось, что точки $c,d$ принадлежат этой прямой, будете ли Вы говорить, что эта прямая проходит через точки $c,d$?

[iifat]

Mikhail_K в сообщении #1186797 писал(а):

будете ли Вы говорить

...Доказательство этого утверждения оставляем в качестве упражнения любознательному читателю.

[SomePupil]

Anton_Peplov в сообщении #1186791 писал(а):

Можно определить и угол, используя два луча, выходящие из одной точки - правда, непонятно, как определить величину угла.

Хм, приплести теорему косинусов? Хотя тогда Ваша геометрия будет (наверняка) изоморфна евклидовой.
P.S. А геометрии бывают изоморфными?
P.P.S. Доказательство изоморфности геометрий предоставляется любознательному читателю (то-то он будет рад!)

[knizhnik]

Anton_Peplov в сообщении #1186791 писал(а):

Можно определить и угол, используя два луча, выходящие из одной точки

Как минимум, необходимо сначала определить луч.

Anton_Peplov в сообщении #1186791 писал(а):

непонятно, как определить величину угла.

Угол в метрическом пространстве - это угол Менгера.

Anton_Peplov в сообщении #1186791 писал(а):

не накладывает на пространство никаких ограничений, кроме существования метрики, при этом определяет геометрические фигуры

А зачем? В Евклидовой геометрии и так определяются многоугольники. Цель их обобщения раскройте пожалуйста.

-- 23.01.2017, 03:07 --

Anton_Peplov в сообщении #1186791 писал(а):

Можно определить прямую, проходящую через точки $a, b$, как объединение всех отрезков, содержащих $[a, b]$ как подмножество. При таком определении автоматически выполняется аксиома, что через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Попробуйте с таким определением доказать, что через любые две различные точки прямой (проходящей через $a, b$) проходит та же самая прямая. Не уверен, что с таким определением у вас это получится.

Mikhail_K в сообщении #1186797 писал(а):

А если прямая была проведена через точки $a,b$ и оказалось, что точки $c,d$ принадлежат этой прямой, будете ли Вы говорить, что эта прямая проходит через точки $c,d$?

iifat, если что, этот вопрос Mikhail_K задал абсолютно по существу.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1186791 писал(а):

существует ли такая "метрическая геометрия" как область математики?

Стандартный совет: выделяем мышкой слова в кавычках и отправляемся искать в гугле. Ру-статья в Википедии (первая ссылка) очень бедная, конечно, но на поставленный вопрос она отвечает.

knizhnik в сообщении #1186813 писал(а):

Как минимум, необходимо сначала определить луч.

Не лучший совет в данном случае. См. как действовал сам Менгер -- ему не потребовалось определение луча.

[knizhnik]

Но Anton_Peplov использует понятие луча - понятие, которое он не определил.

grizzly в сообщении #1186822 писал(а):

Стандартный совет: выделяем мышкой слова в кавычках и отправляемся искать в гугле.

Удваиваю этот совет.

[grizzly]

(Оффтоп)

А, ладно. Мы тут все умничаем, а вот я думаю, что Anton_Peplov сам додумался до метрической геометрии и что это по-настоящему круто.

[knizhnik]

(Оффтоп)

В смысле: мы тут все умничаем, а Anton_Peplov не умничает? Так, что ли?

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1186797 писал(а):

А если прямая была проведена через точки $a,b$ и оказалось, что точки $c,d$ принадлежат этой прямой, будете ли Вы говорить, что эта прямая проходит через точки $c,d$?

Это интересный вопрос. Пока мне не удалось доказать даже, что в упомянутых определениях, если $c \in [a, b]$, то $[a, c] \subset [a, b]$. Другими словами, что если
1) $\rho (a, c) + \rho (b, c) = \rho (a, b)$ и
2) $\rho (a, x) + \rho (c, x) = \rho (a, c)$, то
3) $\rho (a, x) + \rho (b, x) = \rho (a, b)$.
Я пытался доказать, что при замене 3) на
4) $\rho (a, x) + \rho (b, x) > \rho (a, b)$
хотя бы одна из троек $(b, c, x)$ и $(a, b, x)$ нарушит неравенство треугольника, но получил громоздкую систему неравенств, в которой заплутал.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1186867 писал(а):

Это интересный вопрос

Ну, является ведь метрическим пространством сфера, на которой расстояния измеряются по кратчайшим дугам больших окружностей. Вот и посмотрите, какой там будет прямая, проведённая через полюсы. Заодно и ответ нарисуется.
Надо понимать, что далеко не во всех метрических пространствах вообще есть нетривиальные прямые. Рассмотрите ту же сферу, но как подпространство $\mathbb{R}^3$.

[Anton_Peplov]

Спасибо.

[DeBill]

Anton_Peplov
Можно посмотреть , что это даст для конкретных метрик.
Например, стандартная метрика в $\mathbb{R}^2_{\infty}$:
$\rho ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \max \{\left\lvert x_1-x_2\right\rvert, \left\lvert y_1 - y_2\right\rvert\}$
Тогда имеем:
"отрезок" с концами $A,B$ - это прямоугольник с вершинами в этих точках (и еще в двух) - возможно, вырожденный - очень иногда
"прямая" - это либо горизонтальная , либо вертикальная прямая, либо вся плоскость....
Видимо, чтобы было прилично, надо потребовать строгую выпуклость шаров....