Геометрия метрического пространства

[Slav-27]

Anton_Peplov в сообщении #1186867 писал(а):

если
1) $\rho (a, c) + \rho (b, c) = \rho (a, b)$ и
2) $\rho (a, x) + \rho (c, x) = \rho (a, c)$, то
3) $\rho (a, x) + \rho (b, x) = \rho (a, b)$.

Обозначаем $\rho(x,y)$ через $xy$, и:
$ab\leqslant ax+xb\leqslant ax+xc+cb=ab$.

[knizhnik]

knizhnik в сообщении #1186813 писал(а):

Попробуйте с таким определением доказать, что через любые две различные точки прямой (проходящей через $a, b$) проходит та же самая прямая.

Что ж, кажется я убедился, что с вашим определением "прямой" это невозможно. Существует модель, в которой из двух точек "прямой" (проходящей через $a, b$) строится совершенно другая "прямая".

Anton_Peplov в сообщении #1186867 писал(а):

Я пытался доказать, что при замене 3) на
4) $\rho (a, x) + \rho (b, x) > \rho (a, b)$
хотя бы одна из троек $(b, c, x)$ и $(a, b, x)$ нарушит неравенство треугольника, но получил громоздкую систему неравенств, в которой заплутал.

Вместо того, чтобы плутать в очередных бессмысленных "доказательствах", не лучше ли довести определения до надлежащего вида?

[Narn]

(Оффтоп)

Вообще, метрическая геометрия вполне существует, про нее написаны и несколько учебных текстов, например, Бураго, Бураго, Иванов, "Курс метрической геометрии", Бридсон-Хэфлигер, лекции Вербицкого с задачами к ним тут.

[Anton_Peplov]

Narn в сообщении #1186980 писал(а):

Вообще, метрическая геометрия вполне существует, про нее написаны и несколько учебных текстов, например, Бураго, Бураго, Иванов, "Курс метрической геометрии"

За книгу спасибо. Судя по оглавлению, книга интересная. Судя по предисловию, и очень полезная.

[kotenok gav]

Можно посмотреть на это с точки зрения аксиом Гильберта. Понятие плоскости можно определить как объединение прямых, построенных на всех парах точек определенного треугольника. "Лежать между" определено с помощью определения отрезков, "содержать", очевидно, определено, конгруэнтость можно тоже определить (для отрезков - через их длину (метрика от концов), для углов - через определение угловой величины (угол Менгера, или угол Вильсона, в частности), для треугольников можно легко определить через отрезки и углы). Теперь посмотрим на сами аксиомы:
Первая планиметрическая аксиома принадлежности, очевидно, верна (ну, если у нас в метрическом пространстве больше одного элемента).
Во второй, очевидно, такая прямая существует. Утверждение, что существует ровно одна, эквивалентно

Mikhail_K в сообщении #1186797 писал(а):

А если прямая была проведена через точки $a,b$ и оказалось, что точки $c,d$ принадлежат этой прямой, будете ли Вы говорить, что эта прямая проходит через точки $c,d$?

.
Первая часть третьей аксиомы тоже очевидна, вторая может быть неверной - скажем, возьмем ту же сферу.

-- 08 июн 2020, 02:51 --

Первая стериометрическая аксиома принадлежности очевидно, верна (если в нашем пространстве больше двух элементов).
Во второй такая плоскость существует. То, что она только одна, эквивалентно утверждению "если мы построили плоскость по различным точкам $a$, $b$, $c$, и на плоскости есть три различные точки $d$, $e$, $f$, то плоскость, построенная по второй тройке точек, будет совпадать с исходной".
Третья, очевидно, верна.
Насчет четвертой не уверен.
Пятая не верна (тот же пример со сферой).

-- 08 июн 2020, 03:00 --

Первая линейная аксиома порядка, тоже, очевидно, верна.
Вторая, скорее всего, не верна, но интересно, при каких условиях она верна?
Как доказать третью - не знаю.
Как доказать аксиому Паша - тоже не знаю.

-- 08 июн 2020, 03:12 --

Первая линейная аксиома конгруэнтности не верна (скажем, если взять дискретную метрику, то таких отрезков будет бесконечно много).
Вторая, очевидно, верна.
Третья, скорее всего, не верна (не могу сходу доказать, что BC тоже принадлежит прямой, и что AC является объединением AB и BC (это, кажется, эквивалентные утверждения).

-- 08 июн 2020, 03:22 --

Луч можно определить как все точки C прямой AB, такие, что C лежит между точками A и B или B лежит между точками A и C.
Первая планиметрическая аксиома конгруэнтности, кажется, неверна даже для угла Вильсона.
Вторая верна для угла Вильсона, но, кажется, неверна для угла Менгера.
Аксиома параллельности, очевидно, неверна.

-- 08 июн 2020, 03:25 --

kotenok gav в сообщении #1467473 писал(а):

"Лежать между" определено с помощью определения отрезков,

Кажется, я ошибся... Могут существовать три точки на одной прямой, которые не лежат на одном отрезке (сфера).

-- 08 июн 2020, 03:26 --

Тогда ломается определение луча.

-- 08 июн 2020, 03:30 --

Тогда третья линейная аксиома порядка не верна, первая линейная аксиома конгруэнтности, первая планиметрическая аксиома конгруэнтности, и аксиомы непрерывности теряют смысл.

[kotenok gav]

Вот что осталось выяснить:
1. При каких условиях любые три точки на одной прямой лежат на одном отрезке?
1.1. При каких условиях третья линейная аксиома порядка верна?
1.2. При каких условиях первая линейная аксиома конгруэнтности верна?
1.3. При каких условиях первая планиметрическая аксиома конгруэнтности верна?
1.4. При каких условиях аксиома Архимеда верна?
1.5. При каких условиях аксиома "полнота линии" верна?
2. При каких условиях

kotenok gav в сообщении #1467473 писал(а):

А если прямая была проведена через точки $a,b$ и оказалось, что точки $c,d$ принадлежат этой прямой, будете ли Вы говорить, что эта прямая проходит через точки $c,d$?

верно?
3. При каких условиях вторая часть третьей планиметрической аксиомы принадлежности верна?
4. При каких условиях

kotenok gav в сообщении #1467473 писал(а):

если мы построили плоскость по различным точкам $a$, $b$, $c$, и на плоскости есть три различные точки $d$, $e$, $f$, то плоскость, построенная по второй тройке точек, будет совпадать с исходной

верно?
5. При каких условиях четвертая стереометрическая аксиома принадлежности верна?
6. При каких условиях пятая стереометрическая аксиома принадлежности верна?
7. При каких условиях вторая линейная аксиома порядка верна?
8. При каких условиях аксиома Паша верна?
9. При каких условиях третья линейная аксиома конгруэнтности верна?
10. При каких условиях вторая планиметрическая аксиома конгруэнтности верна?
11. При каких условиях аксиома параллельности верна?