Найти объем тела, равного объединению ("Ломоносов" 2005)

[ewert]

Предельная область не изменится. Неверным станет утверждение о том, что предельная область есть объдинение всех остальных.

[Henrylee]

Это как так. Под предельной областью Вы что понимаете? Лично я как раз объединение.

[ewert]

Запретить этого никто не может, однако практически полезно такое понимание только для последовательности вложенных областей. Как я понимаю предельность -- см. выше: как приближаемость элементами последовательности по объёму.

[незваный гость]

ewert, как Вы понимаете предельную область — это Ваше личное дело. Слава Аллаху, милостивому, милосердному, в задаче точно сформулирован вопрос: найти объём объединения, а не найти объём предельной фигуры. То, что в данном случае можно говорить о предельной фигуре и о вложенности $\Phi_n$ — это нам просто повезло.

P.S. Я лично понимаю предельную область как множество точек $x \in \mathbb{R}^3: \exists n_0: \forall n > n_0 \ x \in \Phi_n$. Что, понятно, и не объединение, и не пересечение. И к задаче имеет весьма косвенное отношение.

[ewert]

Везение было предусмотрительно предусмотрено составителем задачи. А мне вот тут пришло в голову: а что, если всё же заменить на одну треть? и попытаться посчитать объём именно объединения? ну хоть в двумерном случае? Задачка ведь тоже вполне осмысленна. Только, конечно, гораздо труднее.

---------------------------
да, забыл добавить. И, разумеется, заменить дискретный параметр $n$ на непрерывный $p\in[1;\infty)$.

[незваный гость]

Дык все (кроме Вас) и считали объём объединения. А в двумерном ли, в трёхмерном случае — разница ограниченная (по любой норме, поскольку пространство конечномерно )

[Henrylee]

ewert писал(а):

Запретить этого никто не может, однако практически полезно такое понимание только для последовательности вложенных областей. Как я понимаю предельность -- см. выше: как приближаемость элементами последовательности по объёму.

В данном контексте под предельной областью я имел в виду множество, предельное для конечных объединений, ибо по условию данной задачи (а также, задачи, предложенной Вами - с коэффициентом $1/3$) нас никакое другое интересовать и не могло.