Секулярное уравнение

[Osmiy]

Ищу толстое пособие по решению секулярных уравнений общего вида.

[Osmiy]

Ну а если не толстое, а любое?

[Red_Herring]

А почему секулярных, а не религиозных?

[Yodine]

Это теория возмущений какая-то

[Osmiy]

Red_Herring, я атеист.

[madschumacher]

Кстати, а можно сначала прояснить, что есть секулярное уравнение в принципе?

Каждый раз открывая книжку по квант.меху, а особенно по квант.химу, слышишь:
"секулярное уравнение, секулярное уравнение, секулярное уравнение, секулярное уравнение... " .

При этом рядышком всегда красуется задача по поиску собственных векторов ($\vec{c}$)-собственных значений ($\lambda$): $\mathbf{A} \vec{c} = \lambda \mathbf{S} \vec{c}$ ($\mathbf{A}, \ \mathbf{S}$ -- некие матрицы), ну или же уже написанное уравнение на собственные значения (т.е. $\det \left( \mathbf{A} - \lambda \mathbf{S} \right) =0$).
Поэтому каждый раз, когда я вижу эту фразу ("секулярное уравнение"), я прохожу следующие стадии принятия:

1. мне стыдно за то, что я не понимаю где Валдо это самое уравнение ,
2. я понимаю, что тут где-то надо найти с.в. и с.з.
3. нахожу в математической записи эту задачу
4. осознаю, что это значит, в лучшем случае, придётся опять к коду LAPACK привинчивать, а в худшем пытаться найти алгоритмы для разреженных матриц, не находить их, расстраиваться и забивать на это всё
5. смиряюсь

Так вот, вопрос: что же скрывается за этими магическими словами "секулярное уравнение"?!

[Yodine]

Помнится, есть быстро-медленные системы, медленные решения и есть секулярные, исторически пошло от изчения возмущения планет, как--то так.

-- 20.01.2017, 15:17 --

"Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, поскольку именно из такого уравнения определяются секулярные (возрастные, то есть медленные по сравнению с годовым движением) возмущения планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. " "Обыкновенные дифференциальные уравнения" Арнольд, стр.7.

[Andrey A]

Может "Сепулярное"? см. Лем. Звездные дневники Ийона Тихого Путешествие четырнадцатое.

[madschumacher]

Yodine в сообщении #1186175 писал(а):

Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным

О! Спасибо большое!! Т.е. всё же это $\det \left( \mathbf{A} - \lambda \mathbf{S} \right) =0$.

Andrey A в сообщении #1186179 писал(а):

Может "Сепулярное"

Ну у меня оно примерно так и было:

Цитата:

сепулярное секулярное уравнение -- используется в сепулькариях задачах по нахождению собственных векторов/собственных значений.

Благодаря Yodine это больше не так.

Osmiy в сообщении #1186075 писал(а):

Ну а если не толстое, а любое?

вооружившись теперь знанием того, что есть секулярное уравнение, можно сказать, что если Вам нужны аналитические методы, то их, видимо, особо то и нет, т.к. это тупо алгебраическое уравнение на $\lambda$ и решать его в общем виде для матриц с $ \operatorname{rank} > 4$ смысла, насколько я знаю, нет. Если же Вас интересуют численные алгоритмы, то само по себе секулярное уравнение, насколько мне известно, практически никогда не решается, а вместо этого определяются одновременно собственные значения/собственные числа.

[Osmiy]

Минимум что меня интересует это явные выражения для коэффициентов при степенях $\lambda$ в секулярном уравнении записаным в алгебраической форме. Но лучше толстую книжку.

[Osmiy]

Похоже что каждый такой коэффициент это сумма детерминантов матриц, полученных поочередной заменой столбцов/строк матриц $\mathbf{A}$, $\mathbf{S}$.

[Евгений Машеров]

Это, пожалуй, надо старые учебники по проблеме собственных значений посмотреть. Фадеев и Фадеева "Вычислительные методы линейной алгебры", скажем. Когда основной путь для нахождения собственных значений был явно выписать характеристический полином и его решать. Там довольно много было приёмов отыскания его коэффициентов по матрице. Сейчас-то скорее вычислят собственные значения и по ним выпишут полином, как $\prod_i (\lambda-\lambda_i)$

[dsge]

Osmiy в сообщении #1186289 писал(а):

Но лучше толстую книжку.

Не так уж и толстая, но достаточно объемная:
Уилкинсон Дж.X. Алгебраическая проблема собственныx значений.

[Osmiy]

Евгений Машеров в сообщении #1186348 писал(а):

Фадеев и Фадеева "Вычислительные методы линейной алгебры"

dsge в сообщении #1186371 писал(а):

Уилкинсон Дж.X. Алгебраическая проблема собственныx значений.

Посвящены решению уравнению $\det \left( \mathbf{A} - \lambda \mathbf{S} \right) =0$, в которых матрица $\mathbf{S}$ равна единичной.

[Евгений Машеров]

Домножьте на $S^{-1}$