Релятивистский разгон

[Munin]

Ч-чёрт, так ещё красивей! И переносится на любые дисперсионные законы квазичастиц.

[realeugene]

AnatolyBa в сообщении #1185356 писал(а):

$T=E-m c^2=F L$ (Это следует из $E dE=c^2p dp$ , $dE=v dp=v F dt = F dx$ )

Очень важное замечание в скобках. Идея посчитать всё через работу и импульс силы в лабораторной системе пришла мне сразу же, но я долго сомневался в определении обычной силы, действующей на летящее с релятивистской скоростью тело, и смысле условия её постоянства. Конечно же, у нас есть закон сохранения импульса, и сила в лабораторной системе - это производная импульса тела по времени в лабораторной системе по определению. А работа силы остаётся равной $F L$ и в релятивистском случае по вашему замечанию в скобках.

[wrest]

Munin в сообщении #1185325 писал(а):

Ох, я как-то точно и не знаю Когда мне скажут "координатное" или "лабораторное", я примерно так и подумаю, что речь об этой $t.$ Тут дело скорей не в точном термине, а во взаимопонимании. Если вы разговариваете

Я спросил потому, что вы обратили внимание на то, что линейная зависимость времени от пройденного пути вам показалась неожиданной и употребили слово "физически".

Недавно читал FAQ по СТО и вычитал там, что физически время -- это показания часов (а $t$,$x$ и прочее в преобразованиях Лоренца -- не время и не длина, а пространственно-временные координаты).
В случае нашей задачи, к счастью, найдутся такие (покоящиеся в СО пути L, ессно) часы, которые покажут именно то время, которое получено в ответе.

Геометрическое место этих часов, очевидно -- плоскость перпендикулярная пути L и проходящая через его середину -- тогда задержки от получения часами сигналов начала и конца движения скомпенсируются.

В ультрарелятивистком пределе, однако, в зависимости от расположения (покоящихся в СО пути L) часов, измеренное по сигналам начала и конца движения время разгона будет меняться от нуля (хотя тут я не уверен, но видимо все-таки от меньшего чем $L/c$ значения) до $2L/c$ (когда часы совмещены с местом начала разгона или находятся на прямой L со стороны начала разгона).

Поэтому я и спрашиваю -- а как правильно называть время, которое требуется найти в задаче, чтобы не было недомолвок и непонимания? Ведь в задаче особо подчеркивается, что случай релятивистский.

[realeugene]

wrest в сообщении #1185366 писал(а):

в зависимости от расположения (покоящихся в СО пути L) часов,

В системе отсчёта свои различные но синхронизированные между собой часы находятся в каждой точке пространства. Время пролёта тела засекается по часам, которые находятся в точке, через которую пролетает тело в этот момент. Посылать куда-то световые сигналы чтобы измерить время не нужно.

[DimaM]

AnatolyBa
Здорово!
До такого я не додумался.

[wrest]

AnatolyBa

После вашего решения задача уже не кажется олимпиадной (впрочем так всегда бывает когда видишь решение до которого не додумался сам)

У Munin решение это магия, с пропуском каких-то "очевидностей", типа "банальная гиперболическая тригонометрия", опусканием и восстановлением $c$ и т.п.

У вас же -- совершенно ясный подход, прямо из самой задачи. Дана энергия (=работа), сила и расстояние фиксированы, найти время. Оказывается, что определение работы $A=FS$ справедливо и в релятивистском случае. Из определения импульса даже по Ньютону $dp/dt=F$ и того, что $F=const$ а $p(t)=0$ для $t=0$ немедленно следует, что $p=tF$ и остается три шага -- записать записать полную энергию $E^2=m^2c^4+p^2c^2$ выразить из неё импульс $p=\dfrac{\sqrt{E^2-m^2c^4}}{c}$ и подставить.
Браво! Именно такое решение, на мой взгляд, и должны ожидать олимпиадные комиссионеры.

-- 17.01.2017, 11:40 --

realeugene в сообщении #1185373 писал(а):

В системе отсчёта свои различные но синхронизированные между собой часы находятся в каждой точке пространства. Время пролёта тела засекается по часам, которые находятся в точке, через которую пролетает тело в этот момент. Посылать куда-то световые сигналы чтобы измерить время не нужно.

А, то есть мы берем показания часов в месте старта в момент старта, затем берем показания часов в месте финиша в момент финиша и вычитаем -- получаем то время, которое просят найти в задаче?
Есть ли какой-то общепринятый термин для этого времени? "Координатное"?

[DimaM]

wrest в сообщении #1185381 писал(а):

После вашего решения задача уже не кажется олимпиадной (впрочем так всегда бывает когда видишь решение до которого не додумался сам)

Задача и не задумывалась олимпиадной. Немного выше среднего уровня для контрольной первого курса.
Я ее для физматшкольников на спецкурсе придумал, один человек даже почти решил .

[realeugene]

wrest в сообщении #1185381 писал(а):

А, то есть мы берем показания часов в месте старта в момент старта, затем берем показания часов в месте финиша в момент финиша и вычитаем -- получаем то время, которое просят найти в задаче?

Да. Это просто промежуток времени в системе отсчёта.

[wrest]

DimaM в сообщении #1185385 писал(а):

Задача и не задумывалась олимпиадной. Немного выше среднего уровня для контрольной первого курса.

Это очень хорошая задача, кмк. На ясность мышления.
Ведь её можно переформулировать в серию задач -- например вариант найти $L$ если известно $t$, или что это не частица а ракета с постоянной силой тяги и потерей массы пренебречь и т.п.

[DimaM]

wrest в сообщении #1185391 писал(а):

Ведь её можно переформулировать в серию задач -- например вариант найти $L$ если известно $t$, или что это не частица а ракета с постоянной силой тяги и потерей массы пренебречь и т.п.

Так это общеизвестно все.
Найти $v(t), L(t), \tau(t)$ при постоянном ускорении в квазисопутствующей системе (гиперболическом движении) - стандартные упражнения.

[wrest]

DimaM в сообщении #1185396 писал(а):

при постоянном ускорении

Но оно же не постоянное тут?

DimaM в сообщении #1185396 писал(а):

Так это общеизвестно все.

Тогда почему ваше решение более сложное чем решение AnatolyBa?

[DimaM]

wrest в сообщении #1185405 писал(а):

Но оно же не постоянное тут?

Почему вы не дочитываете до конца предложения?

wrest в сообщении #1185405 писал(а):

Тогда почему ваше решение более сложное чем решение AnatolyBa?

Потому что у меня как раз стандартный путь через выражение скорости, перемещения и т.д. от времени.

[Munin]

realeugene в сообщении #1185363 писал(а):

Очень важное замечание в скобках.

Как раз, нет. Всех оно шокирует, но на самом деле, это банальность: то, что в релятивистском случае работа равна $FL,$ а импульс силы - $Ft,$ это никакими дифференциальными соотношениями не нужно подтверждать, это даже не надо доказывать, привлекая конкретные законы для релятивистских энергии и импульса. Это следует просто из сохранения энергии и импульса, и не зависит ну совсем-совсем ни от чего, просто берёте произвольную $E(p),\quad v=\partial E/\partial p,$ и получаете решение задачи.

wrest в сообщении #1185381 писал(а):

У Munin решение это магия, с пропуском каких-то "очевидностей", типа "банальная гиперболическая тригонометрия", опусканием и восстановлением $c$ и т.п.

Вот кстати, этой "магии", мне кажется, физматшкольников на спецкурсе и надо учить обязательно :-)
Впрочем, мне кажется, DimaM стоит рассказать ученикам оба решения.

DimaM в сообщении #1185396 писал(а):

Так это общеизвестно все.

А вот с ракетой будет задача не такая общеизвестная. (С потерей массы, уравнение Мещерского в релятивистском случае.) Но боюсь, она может стать и нерешаемой, кроме случая, когда скорость потери массы пропорциональна оставшейся массе.

Кстати, на фотонную ракету (у которой скорость отбрасываемого вещества $c$) тоже красивые задачи можно придумать. Начиная, опять же, с законов сохранения: найти связь конечной скорости и полезной нагрузки (конечной массы).

-- 17.01.2017 14:05:57 --

wrest в сообщении #1185366 писал(а):

Я спросил потому, что вы обратили внимание на то, что линейная зависимость времени от пройденного пути вам показалась неожиданной и употребили слово "физически".
Недавно читал FAQ по СТО и вычитал там, что физически время...

Нет, ваши мысли поехали в неправильную сторону. Я всего лишь имел в виду "непонятно, почему из физических соображений это было бы так". Без глубокой философии.

После решения AnatolyBa и это стало прозрачней: конечное состояние частицы задаётся параметрами $(T,p)=(FL,Ft),$ так что линейная зависимость логична. Более того, она будет выполняться при любой зависимости $E(p),$ и даже больше: траектория движения во времени $L(t)$ при постоянной приложенной силе будет воспроизводить зависимость $E(p)$! Например, может пойти назад.

[DimaM]

Munin в сообщении #1185409 писал(а):

Кстати, на фотонную ракету (у которой скорость отбрасываемого вещества $c$) тоже красивые задачи можно придумать. Начиная, опять же, с законов сохранения: найти связь конечной скорости и полезной нагрузки (конечной массы).

Да, получается такой релятивистский аналог формулы Циолковского.

[wrest]

DimaM в сообщении #1185407 писал(а):

Потому что у меня как раз стандартный путь через выражение скорости, перемещения и т.д. от времени.

Ну это как сказать. Вот например задачки про падающее тело. Падает с высоты, найти скорость.
Можно через уравнение равноускоренного движения, а можно через приобретенную кинетическую энергию.
Второй метод работает с такой же простотой когда тело скатывается по наклонной плоскости (формулы вообще не меняются никак), а в первый метод надо добавлять синусы-косинусы.
А уж когда тело подбрасывают, то найти высоту через энергию это по-моему самый что ни на есть стандартный способ.


Впрочем, вам виднее конечно, у меня опыта и спецзнаний по преподаванию нет.