Релятивистский разгон

[DimaM]

Частица массы $m$ разгоняется на пути $L$ постоянной силой до энергии $E$. Найти время разгона.
Кинетическая энергия частицы $T=E-mc^2$ может быть не мала по сравнению с энергией покоя.

[wrest]

$t=\dfrac{L\sqrt{E-mc^2}}{c\sqrt{E+mc^2}}$

[DimaM]

wrest
У меня по-другому получилось.
В нерелятивистском пределе должно быть

$$t\approx\dfrac{2L}{v}=L\sqrt{\dfrac{2m}{E-mc^2}},$$

а по вашей формуле выходит $Lv/2c^2$.

[wrest]

DimaM в сообщении #1185184 писал(а):

У меня по-другому получилось.

Значит я выбрал или не тот корень (из 4-х) или где-то налажал по-крупному.

Исходил из следующего
поскольку $p^2=\dfrac{m^2v^2}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$ а по условию $\dfrac{dp}{dt}=F=const$ значит $v=\dfrac{cFt}{\sqrt{F^2t^2+m^2c^2}}$ (1)
Интегрируем скорость по времени и получаем пройденный путь $L=\dfrac{c(\sqrt{c^2m^2+F^2t^2}-mc)}{F}$ (2)
далее из $E^2=\dfrac{m^2c^4}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$ получаем $v= \sqrt{c^2-\dfrac{m^2c^6}{E^2}}$ (3)

Ну и дальше из (2) выражаем силу, которую подставляем в уравнение (1)=(3)
Там множество раскрытий скобок, где возможно потерялась путеводная нить...

После всех преобразований получилось уравнение
$E^2m^2c^8t^4-2E^2m^2c^6L^2t^2-m^4c^{12}t^4-2m^4c^{10}L^2t^2-L^4m^4c^8+E^2m^2c^4L^4=0$
которое не в силах упрощать, я скормил в Wolfram, получилось 4 корня, выбрал положительный.

[DimaM]

wrest в сообщении #1185192 писал(а):

Там множество раскрытий скобок, где возможно потерялась путеводная нить...

Я немного по-другому рассуждал.
Находим $v$ и $L$, после чего получаем $\gamma=\sqrt{1+(at/c)^2}$ (обозначение $a=F/m$). Видно, что $L=\dfrac{c^2}{a}(\gamma-1)$. Выражаем $t$ из выражения для $\gamma$, получаемтся $t=\dfrac{c}{a}\sqrt{\gamma^2-1}$. Остается поделить второе на первое и заметить, что $\gamma=E/mc^2$.

[Munin]

$c=1,\quad\gamma=1/\sqrt{1-v^2}$

Докажем, что движение гиперболическое. 4-вектор силы $g^\mu=(\mathbf{fv}\gamma,\mathbf{f}\gamma)=(fv\gamma,\mathbf{f}\gamma),$ и его квадрат модуля $g^2=f^2v^2\gamma^2-f^2\gamma^2=f^2(v^2-1)\gamma^2=-f^2=\mathrm{const}.$

Само по себе это очень красивый результат!

Например, заряженная частица в ускоряющем промежутке движется гиперболически (по гиперболе в пространстве-времени).

Дальше используем банальную тригонометрию (гиперболическую). Радиус гиперболы $R,$ угол рассматриваемой дуги $\theta.$ Знаем:
- $R(\ch\theta-1)=L$ - из пути разгона (поместив центр гиперболы в начало координат, получаем, что разгон идёт от $R$ до $R+L$);
- $m\ch\theta=E$ - из конечной энергии.
Найти надо
- $R\sh\theta=t.$

$\ch\theta=E/m$
$\sh\theta=\sqrt{E^2/m^2-1}$
$R=\dfrac{L}{E/m-1}$

$t=L\sqrt{\dfrac{E/m+1}{E/m-1}}$

Восстанавливая $c,$ имеем

$t=\dfrac{L}{c}\sqrt{\dfrac{E+mc^2}{E-mc^2}}=\dfrac{L}{c}\sqrt{\dfrac{E+mc^2}{T}}$

-- 16.01.2017 16:02:22 --

Берём нерелятивистский предел: $E+mc^2\approx 2mc^2,$

$t\approx L\sqrt{\dfrac{2m}{T}}$

Совпадает с тем, что требуется.

[DimaM]

Munin
Красиво!

[wrest]

А, такой корень тоже был, но вольфрам его выдал в виде
$t=\dfrac{\sqrt{-L^2(E+mc^2)}}{\sqrt{-c^2(E-mc^2)}}$
и я чего-то подумал, что он не подходит...

-- 16.01.2017, 16:21 --

DimaM в сообщении #1185206 писал(а):

Красиво!

Магия... представляю такое решение на олимпиаде.... как бы удивились комиссионеры.

[DimaM]

wrest в сообщении #1185207 писал(а):

А, такой корень тоже был, но вольфрам его выдал в виде
$t=\dfrac{\sqrt{-L^2(E+mc^2)}}{\sqrt{-c^2(E-mc^2)}}$
и я чего-то подумал, что он не подходит...

На Вольфрама надейся, да сам не плошай .

[Munin]

Замечание: к сожалению, движение не является гиперболическим, если начальная скорость не сонаправлена с силой. Подсказку даёт та же электродинамика: перейдя в начальную ИСО частицы, мы увидим магнитное поле, которое будет отклонять частицу от прямой линии. Однако, кажется, в итоге линия тоже будет красивой: "спираль, намотанная на гиперболу". В ЛЛ-2 дан только частичный результат, хотя указан путь к полному: разложить движение на разные направления. Думаю, ответ можно получить из соображений симметрии...

В ультрарелятивистском пределе

$t\approx L/c,$

что, в общем-то, логично: большая часть движения происходит почти со скоростью света.

Зависимость $t$ от $L$ линейная, что физически несколько неожиданно. Геометрически всё понятно: мы просто масштабируем траекторию в пространстве-времени.

Зависимость $t$ от $E$ некрасивая: $\sqrt{1+2/(E/m-1)}.$ Просто корень из гиперболы. В предельных случаях она даётся формулами нерелятивистского $\sim T^{-1/2}$ и ультрарелятивистского $\sim\mathrm{const}$ пределов.

[wrest]

Munin в сообщении #1185214 писал(а):

Зависимость $t$ от $L$ линейная, что физически несколько неожиданно.

DimaM Munin

У меня в этой связи остался вопрос, если можно.

Если допустим в момент начала разгона на частице включается лампочка, а в конце (при прохождении конца пути L) -- выключается, то какой длительности вспышку мы зафиксируем в СО, где путь L неподвижен?

[Munin]

Если мы наблюдаем из какой-то точки, надо указать точку, и считать. А если просто разность моментов времени по этой СО, то $t.$

[wrest]

Munin в сообщении #1185313 писал(а):

А если просто разность моментов времени по этой СО, то $t.$

А как правильно называется время, которое требуется найти в задаче -- "координатное", "лабораторное" или как?

[Munin]

Ох, я как-то точно и не знаю :-) Когда мне скажут "координатное" или "лабораторное", я примерно так и подумаю, что речь об этой $t.$ Тут дело скорей не в точном термине, а во взаимопонимании. Если вы разговариваете со здравым человеком, то договоритесь очень быстро. А если вы разговариваете с "опровергуном", то какие бы термины вы ни говорили, он их неправильно поймёт, извратит и вывалит обратно вам на голову.

И ещё. Первичны не термины, а понятия.

[AnatolyBa]

Ещё вариант

$T=E-m c^2=F L$ (Это следует из $E dE=c^2p dp$ , $dE=v dp=v F dt = F dx$ )

$t=\frac{p}{F}=\frac{p L}{E-m c^2}=\frac{L \sqrt{E^2 - m^2 c^4}}{c (E-m c^2)}=\frac{L}{c} \sqrt{\frac{E+m c^2}{E-m c^2}}$