Шайба в чистом поле заезжает на горку. Какова должна быть форма горки, чтобы средняя высота, на которую поднимется шайба, была половиной максимальной?
На гладкой горизонтальной плоскости движется шайба с кинетической энергией

Перед ней находится (тоже гладкая) центрально-симметричная горка

такая что:
- при

везде

;
- при

везде

;
- шайба изначально движется по произвольной линии, пересекающей круг

;
-

;
-

- бесконечно дифференцируемая, монотонно убывающая функция;
вроде, всё, что надо, перечислил.

- максимальная высота, на которую поднимется шайба при своём движении. При каких условиях на

будет выполняться

? Существуют ли такие

которые выполняют это независимо от

?
Не уверен, что задача олимпиадная, может, стандартная (по крайней мере, первый вопрос).