2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Шайба и горка
Сообщение13.01.2017, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63570
Шайба в чистом поле заезжает на горку. Какова должна быть форма горки, чтобы средняя высота, на которую поднимется шайба, была половиной максимальной?

На гладкой горизонтальной плоскости движется шайба с кинетической энергией $E.$ Перед ней находится (тоже гладкая) центрально-симметричная горка $U(r),$ такая что:
- при $r>r_0$ везде $U=0$;
- при $r<r_0$ везде $U>0$;
- шайба изначально движется по произвольной линии, пересекающей круг $r<r_0$;
- $U(0)\geqslant E$;
- $U(r)$ - бесконечно дифференцируемая, монотонно убывающая функция;
вроде, всё, что надо, перечислил. $h_\max$ - максимальная высота, на которую поднимется шайба при своём движении. При каких условиях на $U(r)$ будет выполняться $\langle h_{\max}\rangle=E/2$? Существуют ли такие $U(r),$ которые выполняют это независимо от $E$?

Не уверен, что задача олимпиадная, может, стандартная (по крайней мере, первый вопрос).

 Профиль  
                  
 
 Re: Шайба и горка
Сообщение13.01.2017, 18:08 
Заслуженный участник


28/12/12
4380
Munin в сообщении #1184379 писал(а):
Какова должна быть форма горки, чтобы средняя высота, на которую поднимется шайба, была половиной максимальной?

По какому параметру усреднение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шайба и горка
Сообщение13.01.2017, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1443
Москва
Munin в сообщении #1184379 писал(а):
будет выполняться $\langle h_{\max}\rangle=E/2$?

Тут что-то не так. Или обозначения не очень хорошие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шайба и горка
Сообщение13.01.2017, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63570
DimaM в сообщении #1184381 писал(а):
По какому параметру усреднение?

Ну это практически подсказка... Равномерно распределён прицельный параметр, очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шайба и горка
Сообщение13.01.2017, 19:49 
Заслуженный участник


28/12/12
4380
У меня получилось уравнение
$$U(r_m)+\dfrac{Er^2}{r_m^2}=E,$$
где $r$ - прицельный параметр, а $r_m$ - расстояние от центра на максимальной высоте. Чтобы дальше двинуться, нужно, по-моему, еще какую-то связь между $r_m$ и $r$ найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шайба и горка
Сообщение13.01.2017, 20:10 


09/10/15
1346
San Jose, USA
Наверное еще надо добавить, что шайба не должна подпрыгивать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шайба и горка
Сообщение13.01.2017, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63570
DimaM
Видимо, мы двигаемся разными путями. Это у вас откуда следует? (И ещё, большая просьба не обозначать прицельный параметр $r$! Он же всё-таки не радиальная координата! Используются, например, $\rho,b.$ Можно и ещё какую-нибудь букву задействовать.)

-- 13.01.2017 20:17:51 --

fred1996
Да, по сути, речь о движении точки в потенциале, а "шайба" просто для красоты. Спасибо за уточнение! Можно заменить $h_{\max}\to U_{\max}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Шайба и горка
Сообщение13.01.2017, 20:27 
Заслуженный участник


28/12/12
4380
Munin в сообщении #1184420 писал(а):
Видимо, мы двигаемся разными путями. Это у вас откуда следует?

Из сохранения энергии и момента импульса.

Munin в сообщении #1184420 писал(а):
И ещё, большая просьба не обозначать прицельный параметр $r$! Он же всё-таки не радиальная координата!

Так сойдет?
$$U(r)+\dfrac{E\rho^2}{r^2}=E,$$
где $\rho$ - прицельный параметр, $r$ - расстояние от центра на максимальной высоте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шайба и горка
Сообщение13.01.2017, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63570
Ага, всё, распознал. Да, у меня так же.

-- 13.01.2017 22:41:41 --

Ну, наверное, задача всё-таки не олимпиадная, если она опытным людям "на один зубок"...

 Профиль  
                  
 
 Re: Шайба и горка
Сообщение13.01.2017, 23:13 


09/10/15
1346
San Jose, USA
Я все-таки новичек тут и еще не понял критерия "олимпиадности"
Мне всегда казалось что таким критерием может послужить какая-нибудь нестандартность, может какой-нибудь shortcut даже в стандартной задаче.
Ведь на олимпиадах дают фиксированное время на все задачи.
И если ты выиграл в какой-то задаче время за счет такого шортката, это тоже можно засчитать в плюс. Так сказат оценка за эстетическое восприятие. :)

Либо тут есть некая уже устная договоренность между местными гуру типа "олимпиадность" в тутошнем понимании. Когда если упоминается проблема, можно ее даже не обрисовывать а просто сказать - анекдот номер такой-то в версии Савченко.
Наверное тут есть немало преподавателей, которым интересны "олимпиадные" задачки для разного уровня подготовки.
А пока поскольку требования к олимпиадности достаточно высоки, наблюдается явный застой в этом подфоруме. Как будто народ боится показаться слишком простым.
Менее 400 задач за 7 лет это как-то маловато будет.

И еще. Как правило даже простые задачи с не слишком хитрой изюминкой могут породить более интересные продолжения.
Я за динамический творческий подход.

Вот и Munin как бы оправдывается за свою задачку.
А ведь это хорошая задача из серии центрального потенциала.
По крайней мере я точно возьму ее на вооружение.
В конце концов если даже какая-то задача не щекочет нашего самолюбия, подумайте об учениках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шайба и горка
Сообщение14.01.2017, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63570

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1184466 писал(а):
Я все-таки новичек тут и еще не понял критерия "олимпиадности"

Я тут "старичок", а тоже его не понимаю. Такое впечатление, что кто во что горазд. Лишь бы задача не была в стандартном задачнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шайба и горка
Сообщение14.01.2017, 20:34 
Заслуженный участник


28/12/12
4380

(Оффтоп)

Как мне недавно разъяснили, для своих задач неолимпиадного уровня этот раздел тоже подходит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group