Шайба и горка

[Munin]

Шайба в чистом поле заезжает на горку. Какова должна быть форма горки, чтобы средняя высота, на которую поднимется шайба, была половиной максимальной?

На гладкой горизонтальной плоскости движется шайба с кинетической энергией $E.$ Перед ней находится (тоже гладкая) центрально-симметричная горка $U(r),$ такая что:
- при $r>r_0$ везде $U=0$;
- при $r<r_0$ везде $U>0$;
- шайба изначально движется по произвольной линии, пересекающей круг $r<r_0$;
- $U(0)\geqslant E$;
- $U(r)$ - бесконечно дифференцируемая, монотонно убывающая функция;
вроде, всё, что надо, перечислил. $h_\max$ - максимальная высота, на которую поднимется шайба при своём движении. При каких условиях на $U(r)$ будет выполняться $\langle h_{\max}\rangle=E/2$? Существуют ли такие $U(r),$ которые выполняют это независимо от $E$?

Не уверен, что задача олимпиадная, может, стандартная (по крайней мере, первый вопрос).

[DimaM]

Munin в сообщении #1184379 писал(а):

Какова должна быть форма горки, чтобы средняя высота, на которую поднимется шайба, была половиной максимальной?

По какому параметру усреднение?

[Metford]

Munin в сообщении #1184379 писал(а):

будет выполняться $\langle h_{\max}\rangle=E/2$?

Тут что-то не так. Или обозначения не очень хорошие.

[Munin]

DimaM в сообщении #1184381 писал(а):

По какому параметру усреднение?

Ну это практически подсказка... Равномерно распределён прицельный параметр, очевидно.

[DimaM]

У меня получилось уравнение

$$U(r_m)+\dfrac{Er^2}{r_m^2}=E,$$

где $r$ - прицельный параметр, а $r_m$ - расстояние от центра на максимальной высоте. Чтобы дальше двинуться, нужно, по-моему, еще какую-то связь между $r_m$ и $r$ найти.

[fred1996]

Наверное еще надо добавить, что шайба не должна подпрыгивать?

[Munin]

DimaM
Видимо, мы двигаемся разными путями. Это у вас откуда следует? (И ещё, большая просьба не обозначать прицельный параметр $r$! Он же всё-таки не радиальная координата! Используются, например, $\rho,b.$ Можно и ещё какую-нибудь букву задействовать.)

-- 13.01.2017 20:17:51 --

fred1996
Да, по сути, речь о движении точки в потенциале, а "шайба" просто для красоты. Спасибо за уточнение! Можно заменить $h_{\max}\to U_{\max}.$

[DimaM]

Munin в сообщении #1184420 писал(а):

Видимо, мы двигаемся разными путями. Это у вас откуда следует?

Из сохранения энергии и момента импульса.

Munin в сообщении #1184420 писал(а):

И ещё, большая просьба не обозначать прицельный параметр $r$! Он же всё-таки не радиальная координата!

Так сойдет?

$$U(r)+\dfrac{E\rho^2}{r^2}=E,$$

где $\rho$ - прицельный параметр, $r$ - расстояние от центра на максимальной высоте.

[Munin]

Ага, всё, распознал. Да, у меня так же.

-- 13.01.2017 22:41:41 --

Ну, наверное, задача всё-таки не олимпиадная, если она опытным людям "на один зубок"...

[fred1996]

Я все-таки новичек тут и еще не понял критерия "олимпиадности"
Мне всегда казалось что таким критерием может послужить какая-нибудь нестандартность, может какой-нибудь shortcut даже в стандартной задаче.
Ведь на олимпиадах дают фиксированное время на все задачи.
И если ты выиграл в какой-то задаче время за счет такого шортката, это тоже можно засчитать в плюс. Так сказат оценка за эстетическое восприятие. :)

Либо тут есть некая уже устная договоренность между местными гуру типа "олимпиадность" в тутошнем понимании. Когда если упоминается проблема, можно ее даже не обрисовывать а просто сказать - анекдот номер такой-то в версии Савченко.
Наверное тут есть немало преподавателей, которым интересны "олимпиадные" задачки для разного уровня подготовки.
А пока поскольку требования к олимпиадности достаточно высоки, наблюдается явный застой в этом подфоруме. Как будто народ боится показаться слишком простым.
Менее 400 задач за 7 лет это как-то маловато будет.

И еще. Как правило даже простые задачи с не слишком хитрой изюминкой могут породить более интересные продолжения.
Я за динамический творческий подход.

Вот и Munin как бы оправдывается за свою задачку.
А ведь это хорошая задача из серии центрального потенциала.
По крайней мере я точно возьму ее на вооружение.
В конце концов если даже какая-то задача не щекочет нашего самолюбия, подумайте об учениках.

[Munin]

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1184466 писал(а):

Я все-таки новичек тут и еще не понял критерия "олимпиадности"

Я тут "старичок", а тоже его не понимаю. Такое впечатление, что кто во что горазд. Лишь бы задача не была в стандартном задачнике.

[DimaM]

(Оффтоп)

Как мне недавно разъяснили, для своих задач неолимпиадного уровня этот раздел тоже подходит.