x=R^x (mod p)

[Echo-Off]

Здравствуйте.

Как называется задача, в которой требуется для заданного простого $p$ найти $(R,\,x)$, удовлетворяющее $x\equiv R^x \pmod p$?
И где о ней можно прочитать?

[maxal]

$(R,x)=(1,1)$ не подходит?

[Echo-Off]

А если хочется найти все решения?
Вроде было у этой задачи какое-то имя...

[maxal]

Все остальные решения находятся так:

Для каждого $u=1,\dots,p-1$ и каждого $v$ такого, что $1\leq v< d_u,\ (v,d_u)=1$, где $d_u$ - это мультипликативный порядок $u$ по модулю $p$, полагаем:

$$\begin{cases}x\equiv u+(v-u)p\pmod{d_u p}\\ R\equiv u^{v^{-1}\bmod d_u}\pmod p\end{cases}$$

плюс еще одна серия сингулярных решений:

$$\begin{cases}R\not\equiv 0\pmod{p}\\ x\equiv 1-p \pmod{d_R p} \end{cases}$$

Вряд ли у этого сравнения есть собственное имя.

[Echo-Off]

Спасибо.

А как Вы так их нашли?

[maxal]

Выразил в исходном сравнении $R$ через $x$ и параметризовал.