2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение10.01.2017, 21:15 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Или: если сложить оба ряда из правой части, то получим ряд, получающийся из исходного группировкой (по два)

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение10.01.2017, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Someone в сообщении #1183449 писал(а):
В рассматриваемой ситуации с разбиением ряда на сумму двух рядов перемещения слагаемых не происходит: исходный ряд получается из двух рядов не перемещением членов, а их "смешиванием": часть берётся из одного ряда, часть — из другого, но порядок слагаемых, относящихся к одному ряду, не меняется.

А вот это, наверное, именно то, что мне было нужно. Т.е. в теореме Римана говорится о никак не упорядоченной в общем случае перестановке членов ряда, а у меня перестановка упорядоченная. Некоторые члены ряда (которых бесконечно много) переставляются "как единое целое" при "неподвижных" остальных. Об этом я не подумал. Спасибо, Someone!

Теперь осталось только разобраться с примером, когда ряд разбился в сумму трёх расходящихся. Но это я уж сам додумаю. Есть у меня подозрение, что расходимость эта появилась в результате моего неаккуратно обращения с рядами.

-- 10.01.2017, 21:34 --

Да, точно. С тем рядом, о котором я говорил выше, вообще фантастическая история вышла. Я его очень давно считал - сейчас проверил (даже два раза). Три ряда, на которые разбился исходный ряд, были сходящимися. Расходимости появились, когда я вычислял сходящийся интеграл, разбивая подынтегральную дробь на простейшие. Так что этот вопрос не в кассу. Стало быть, вопрос исчерпан.
Всем большое спасибо за участие!

P.S. grizzly, Вы были правы. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение10.01.2017, 22:52 


25/08/11

1074
DeBill - по поводу перестановок членов ряда в пространствах Банаха и тд. Есть такой математик Кадец, он, если я не путаю, этим занимался, кажется, есть даже книги.
Да, на LG есть пара книг по теме на английском.

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение10.01.2017, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Существенные продвижения в изучении свойств перестановок членов рядов в банаховых пространствах получил Д.В. Печерский. В частности, на его результаты опирался С.М. Воронин, получивший уникальный результат об универсальности дзета-функции Римана.

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение11.01.2017, 08:47 


25/08/11

1074
grizzly спасибо за интересные и неожиданные ссылки!
По случаю: есть малоизвестный очень мощный метод суммирования рядов в явном виде, основанный на использовании преобразования Меллина и функции Римана. Он разработан математиком В.С.Рыко. Он работал в Минске, а в конце жизни у нас в провинции. К сожалению, его публикации - это по существу монографии, состоящие из теоретической части и обширных таблиц, были только депонированы и малодоступны. Если интересно, могу дать ссылки.

-- 11.01.2017, 09:58 --

Ссылки на книги Кадеца. Кстати, основная теорема о перестановках в ряде в пространстве Банаха называется его именем, если я не путаю. Он изначально из Харькова.
1. Kadets, V. M., Kadets M.I., Rearrangements of series in Banach spaces. AMS, 1991.
2. Kadets, V. M., Kadets M.I., Series in Banach spaces : conditional and unconditional convergence. Birkhäuser , 1997.
Второй соавтор - наверное родственник, не знаю.

-- 11.01.2017, 10:00 --

Д.В.Печерский по ссылке - мне кажется, что это немного другая тематика-ряды со случайной расстановкой знаков, идущая от Кахана. Но я в этом не специалист, кто знает лучше, может уточнит.

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение11.01.2017, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
sergei1961 в сообщении #1183562 писал(а):
[о В.С.Рыко.] К сожалению, его публикации - [...] малодоступны. Если интересно, могу дать ссылки.
Посмотрел на mathnet (там имеется несколько работ) -- интересно. Если есть другие -- конечно, оставьте ссылки. Спасибо.
sergei1961 в сообщении #1183562 писал(а):
Д.В.Печерский по ссылке - мне кажется, что это немного другая тематика-ряды со случайной расстановкой знаков
Вот уж нет, Вы просто первую страницу не до конца посмотрели :) А результат неожиданный и интересный. Спасибо, Brukvalub.
sergei1961 в сообщении #1183562 писал(а):
Но я в этом не специалист, кто знает лучше, может уточнит.
Так ведь этот "кто-то" уже уточнил :D

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение11.01.2017, 12:18 


25/08/11

1074
У меня есть такой том: В.С.Рыко. Метод суммирования и улучшения сходимости функциональных рядов. Депонировано Вологда, 1988. 183 с., с таблицами.
Постараюсь со временем сделать и выложить для людей, не скоро.
Я звонил в Вологодский пед, где он заканчивал работать, обещали помочь с другими публикациями, но не помогли.
Есть ещё деп: Дискретные преобразования Фурье (теория и таблицы формул), Вологда, 1984, 80 с.
Кажется есть ещё (статьи не цитирую, они на матнете), но сразу не найду.

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение11.01.2017, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Metford в сообщении #1183379 писал(а):
Лично мне этот метод совсем не нравится (мне требуется немало времени, чтобы увидеть нужное преобразование/разложение), хотя не поспоришь, он работает.

Это всего лишь группировка с последующим изменение порядка суммирования (если законно): $$\sum\limits_{k\geqslant0}\sum\limits^m_{n=0}a_{kn}=\sum\limits^m_{n=0}\sum\limits_{k\geqslant0}a_{kn}$$
Вот, что Вы фактически выполнили:
  • сгруппировали члены ряда по два$$\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{[k/2]}}{k+a}=\sum\limits_{k\geqslant0}\left(\frac{(-1)^k}{2k+a}+\frac{(-1)^k}{2k+1+a}\right)=\sum\limits_{k\geqslant0}\sum\limins^1_{n=0}\frac{(-1)^k}{2k+n+a}$$
  • изменили порядок суммирования$$\sum\limits_{k\geqslant0}\sum\limins^1_{n=0}\frac{(-1)^k}{2k+n+a}=\sum\limins^1_{n=0}\sum\limits_{k\geqslant0}\frac{(-1)^k}{2k+n+a}=\sum\limits_{k\geqslant0}\frac{(-1)^k}{2k+a}+\sum\limits_{k\geqslant0}\frac{(-1)^k}{2k+1+a}$$в данном случае это законно так как все ряды сходятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: О суммировании знакопеременных рядов
Сообщение11.01.2017, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
sergei1961 в сообщении #1183562 писал(а):
По случаю: есть малоизвестный очень мощный метод суммирования рядов в явном виде, основанный на использовании преобразования Меллина и функции Римана.

Само по себе применение интегральных преобразований для меня не новость. Например, во всех обсуждаемых здесь примерах я использовал при суммировании преобразование Лапласа. Я его вообще раньше эксплуатировал в хвост и в гриву.
Конечно, интересно было бы посмотреть на применение других преобразований.

whitefox в сообщении #1183611 писал(а):
изменили порядок суммирования

Фактически вопрос заключался именно в законности изменения порядка суммирования - это я изначально плохо вопрос сформулировал. К счастью, это недоразумение прояснилось. А то знаете, было какое-то подвешенное состояние: вроде бы ряд отсуммировался, но вдруг в другом случае что-нибудь пошло бы не так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group