О суммировании знакопеременных рядов

[DeBill]

Или: если сложить оба ряда из правой части, то получим ряд, получающийся из исходного группировкой (по два)

[Metford]

Someone в сообщении #1183449 писал(а):

В рассматриваемой ситуации с разбиением ряда на сумму двух рядов перемещения слагаемых не происходит: исходный ряд получается из двух рядов не перемещением членов, а их "смешиванием": часть берётся из одного ряда, часть — из другого, но порядок слагаемых, относящихся к одному ряду, не меняется.

А вот это, наверное, именно то, что мне было нужно. Т.е. в теореме Римана говорится о никак не упорядоченной в общем случае перестановке членов ряда, а у меня перестановка упорядоченная. Некоторые члены ряда (которых бесконечно много) переставляются "как единое целое" при "неподвижных" остальных. Об этом я не подумал. Спасибо, Someone!

Теперь осталось только разобраться с примером, когда ряд разбился в сумму трёх расходящихся. Но это я уж сам додумаю. Есть у меня подозрение, что расходимость эта появилась в результате моего неаккуратно обращения с рядами.

-- 10.01.2017, 21:34 --

Да, точно. С тем рядом, о котором я говорил выше, вообще фантастическая история вышла. Я его очень давно считал - сейчас проверил (даже два раза). Три ряда, на которые разбился исходный ряд, были сходящимися. Расходимости появились, когда я вычислял сходящийся интеграл, разбивая подынтегральную дробь на простейшие. Так что этот вопрос не в кассу. Стало быть, вопрос исчерпан.
Всем большое спасибо за участие!

P.S. grizzly, Вы были правы.

[sergei1961]

DeBill - по поводу перестановок членов ряда в пространствах Банаха и тд. Есть такой математик Кадец, он, если я не путаю, этим занимался, кажется, есть даже книги.
Да, на LG есть пара книг по теме на английском.

[Brukvalub]

Существенные продвижения в изучении свойств перестановок членов рядов в банаховых пространствах получил Д.В. Печерский. В частности, на его результаты опирался С.М. Воронин, получивший уникальный результат об универсальности дзета-функции Римана.

[sergei1961]

grizzly спасибо за интересные и неожиданные ссылки!
По случаю: есть малоизвестный очень мощный метод суммирования рядов в явном виде, основанный на использовании преобразования Меллина и функции Римана. Он разработан математиком В.С.Рыко. Он работал в Минске, а в конце жизни у нас в провинции. К сожалению, его публикации - это по существу монографии, состоящие из теоретической части и обширных таблиц, были только депонированы и малодоступны. Если интересно, могу дать ссылки.

-- 11.01.2017, 09:58 --

Ссылки на книги Кадеца. Кстати, основная теорема о перестановках в ряде в пространстве Банаха называется его именем, если я не путаю. Он изначально из Харькова.
1. Kadets, V. M., Kadets M.I., Rearrangements of series in Banach spaces. AMS, 1991.
2. Kadets, V. M., Kadets M.I., Series in Banach spaces : conditional and unconditional convergence. Birkhäuser , 1997.
Второй соавтор - наверное родственник, не знаю.

-- 11.01.2017, 10:00 --

Д.В.Печерский по ссылке - мне кажется, что это немного другая тематика-ряды со случайной расстановкой знаков, идущая от Кахана. Но я в этом не специалист, кто знает лучше, может уточнит.

[grizzly]

sergei1961 в сообщении #1183562 писал(а):

[о В.С.Рыко.] К сожалению, его публикации - [...] малодоступны. Если интересно, могу дать ссылки.

Посмотрел на mathnet (там имеется несколько работ) -- интересно. Если есть другие -- конечно, оставьте ссылки. Спасибо.

sergei1961 в сообщении #1183562 писал(а):

Д.В.Печерский по ссылке - мне кажется, что это немного другая тематика-ряды со случайной расстановкой знаков

Вот уж нет, Вы просто первую страницу не до конца посмотрели :) А результат неожиданный и интересный. Спасибо, Brukvalub.

sergei1961 в сообщении #1183562 писал(а):

Но я в этом не специалист, кто знает лучше, может уточнит.

Так ведь этот "кто-то" уже уточнил

[sergei1961]

У меня есть такой том: В.С.Рыко. Метод суммирования и улучшения сходимости функциональных рядов. Депонировано Вологда, 1988. 183 с., с таблицами.
Постараюсь со временем сделать и выложить для людей, не скоро.
Я звонил в Вологодский пед, где он заканчивал работать, обещали помочь с другими публикациями, но не помогли.
Есть ещё деп: Дискретные преобразования Фурье (теория и таблицы формул), Вологда, 1984, 80 с.
Кажется есть ещё (статьи не цитирую, они на матнете), но сразу не найду.

[whitefox]

Metford в сообщении #1183379 писал(а):

Лично мне этот метод совсем не нравится (мне требуется немало времени, чтобы увидеть нужное преобразование/разложение), хотя не поспоришь, он работает.

Это всего лишь группировка с последующим изменение порядка суммирования (если законно):

$$\sum\limits_{k\geqslant0}\sum\limits^m_{n=0}a_{kn}=\sum\limits^m_{n=0}\sum\limits_{k\geqslant0}a_{kn}$$

Вот, что Вы фактически выполнили:

• сгруппировали члены ряда по два
  $$\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{[k/2]}}{k+a}=\sum\limits_{k\geqslant0}\left(\frac{(-1)^k}{2k+a}+\frac{(-1)^k}{2k+1+a}\right)=\sum\limits_{k\geqslant0}\sum\limins^1_{n=0}\frac{(-1)^k}{2k+n+a}$$
• изменили порядок суммирования
  $$\sum\limits_{k\geqslant0}\sum\limins^1_{n=0}\frac{(-1)^k}{2k+n+a}=\sum\limins^1_{n=0}\sum\limits_{k\geqslant0}\frac{(-1)^k}{2k+n+a}=\sum\limits_{k\geqslant0}\frac{(-1)^k}{2k+a}+\sum\limits_{k\geqslant0}\frac{(-1)^k}{2k+1+a}$$
  в данном случае это законно так как все ряды сходятся.

[Metford]

sergei1961 в сообщении #1183562 писал(а):

По случаю: есть малоизвестный очень мощный метод суммирования рядов в явном виде, основанный на использовании преобразования Меллина и функции Римана.

Само по себе применение интегральных преобразований для меня не новость. Например, во всех обсуждаемых здесь примерах я использовал при суммировании преобразование Лапласа. Я его вообще раньше эксплуатировал в хвост и в гриву.
Конечно, интересно было бы посмотреть на применение других преобразований.

whitefox в сообщении #1183611 писал(а):

изменили порядок суммирования

Фактически вопрос заключался именно в законности изменения порядка суммирования - это я изначально плохо вопрос сформулировал. К счастью, это недоразумение прояснилось. А то знаете, было какое-то подвешенное состояние: вроде бы ряд отсуммировался, но вдруг в другом случае что-нибудь пошло бы не так.