Оффтоп про распределение простых из темы о гипотез Линделёфа

[vicvolf]

Deggial:
Выделено из темы про гипотезу Линделёфа

sup в сообщении #1181152 писал(а):

То, что простые числа ведут себя в некотором смысле "случайно", не вызывает ни у кого никаких сомнений. Но, похоже, на твердую основу эти соображения поставить не удалось.

Я рассматривал три вероятностные модели распределения простых чисел.
В первой вероятностной модели предполагается, что наугад из корзины, содержащей шары с натуральными номерами от 1 до $x$, выбирается шар. Если номер шара является простым числом, то случайной величине присваивается значение 1, если нет, то 0. В данной вероятностной модели шар, после того, как его выбрали, снова возвращается в корзину. Поэтому в этой модели существует вероятность выбрать один и тот же шар несколько раз. В реальной ситуации, когда подсчитывается количество простых чисел на интервале натурального ряда от 1 до $x$, такой ситуации не бывает.
Вторая вероятностная модель не имеет такого недостатка - с выбором шара без возврата. При таком выборе мы получаем не биномиальное распределение суммы случайных величин, как в первой вероятностной модели, а - гипергеометрическое распределение.
При больших значениях $x$ первая вероятностная модель дает почти такой же результат, что и рассмотренная вероятностная модель без возврата, которая не имеет указанного недостатка первой вероятностной модели.
В качестве третьей вероятностной модели я рассмотрел модель Крамера.
Сравнение показателей этих трех вероятностных моделей с Гипотезой Римана дало интересные результаты. Все три модели дают практически одинаковые отклонения количества простых чисел, не превышаюших $x$ от $Li(x)$ значительно меньше, чем по Гипотезе Римана.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1181341 писал(а):

Сравнение показателей этих трех вероятностных моделей с Гипотезой Римана дало интересные результаты. Все три модели дают практически одинаковые отклонения количества простых чисел, не превышаюших $x$ от $Li(x)$ значительно меньше, чем по Гипотезе Римана.

Эти "результаты" ни на каких строгих соображениях не основаны, поэтому интереса не представляют, сколько бы автор их не пиарил.

[sergei1961]

Опечатку про коней в процитированном названии книги Гаврилова похоже никто не заметил. Если серьёзно-то вероятностные методы используются в ТЧ вообще и при доказательстве ГР тоже, насколько я как неспециалист понимаю. Например, в книге Дербишира, которую уже не раз заслуженно цитировали, приводятся качественные описания этих методов, например, в работах М.Барри и других, если я не путаю. Вообще, наверное все математические задачи могут быть переформулированы как вероятностные. По крайней мере, в неравенствах, комбинаторных и подобных тождествах, специальных функциях - это сейчас везде, очень популярно стало. Значит, неспроста всё-таки.

[sup]

(vicvolf)

vicvolf в сообщении #1181341 писал(а):

Я рассматривал три вероятностные модели распределения простых чисел.

Не хочется Вас расстраивать, но все же должен сказать - и что? Лично я не вижу каких-то внятных перспектив в этой деятельности. На интервале от $2$ до $10^{20}$ (или еще каком) одна из моделей лучше другой. Очень хорошо. И что нам с того? Зачем нам моделировать простые числа? Могут ли эти вычислительные эксперименты дать нам что-то новое в понимании устройства простых чисел? Я имею в виду некие утверждения с доказательствами, а не просто некую статистику. Даже идеальнейшее моделирование поведения простых чисел не понятно куда пристроить.
Скажем, исследование статистических свойств разнообразных датчиков случайных чисел имеет простую и понятную цель, коль скоро такие датчики широко используются в разнообразных прикладных программах. Однажды я сам столкнулся с тем, что стандартный датчик начал вести себя не так случайно как хотелось.
Вот если бы Вы открыли какие-то совершенно новые соотношения, которые никак не следуют из известных результатов (и известных эмпирических наблюдений). Тогда, наверное, это бы привлекло внимание общественности. В качестве примера приведу результаты Монтгомери и массивные вычислительные эксперименты Одлыжко.

[Brukvalub]

sergei1961 в сообщении #1181374 писал(а):

Если серьёзно-то вероятностные методы используются в ТЧ вообще и при доказательстве ГР тоже, насколько я как неспециалист понимаю.

Безусловно! Есть, например, даже целые книги, посвященные способам доказательства вовсе и не вероятностных теорем дискретной математики с помощью теории вероятностей. Вот только все такие методы доказательны и не начинаются со слов: "давайте от фонаря предположим, что распределение простых имеет такой-то закон распределения вероятности и тогда наполучаем превосходного качества оценок остаточных членов", как это делает vicvolf. Его деятельность с самого начала бессмысленна.

[sergei1961]

Brukvalub - спасибо за интересную ссылку.

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #1181344 писал(а):

vicvolf в сообщении #1181341 писал(а):

Сравнение показателей этих трех вероятностных моделей с Гипотезой Римана дало интересные результаты. Все три модели дают практически одинаковые отклонения количества простых чисел, не превышаюших $x$ от $Li(x)$ значительно меньше, чем по Гипотезе Римана.

Эти "результаты" ни на каких строгих соображениях не основаны, поэтому интереса не представляют, сколько бы автор их не пиарил.

Вполне обоснованы. Например, модель Крамера справедлива с вероятностью 1, а остальные модели с вероятностью сколько угодно близкой к 1. Конечно это не является доказательством в строгом смысле, но ГР тоже до сих пор не доказана. Но предположим даже, что ГР доказана, тогда, например, на основании данной гипотезы отклонение количества простых чисел, не превышающих $x=1000000000000$ от $Li(x)$ составляет 1099961, среднеквадратичное отклонение по 1 модели составляет только 190239, а реальное отклонение количества простых чисел 37607912018 от $Li(x)$ составляет всего 38263, т.е. даже меньше среднеквадратичного отклонения. Таким образом, ГР дает очень большое отклонение от $Li(x)$.

-- 02.01.2017, 14:50 --

sup в сообщении #1181376 писал(а):

(vicvolf)

Вот если бы Вы открыли какие-то совершенно новые соотношения, которые никак не следуют из известных результатов (и известных эмпирических наблюдений). Тогда, наверное, это бы привлекло внимание общественности. В качестве примера приведу результаты Монтгомери и массивные вычислительные эксперименты Одлыжко.

Почему же из данных вероятностных моделей следуют и аналитические продолжения. Возможно есть ошибки, но идеи тоже. https://arxiv.org/abs/1501.07267

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1181402 писал(а):

Конечно это не является доказательством в строгом смысле

Вам будет полезно узнать, что "Свежесть бывает только одна — первая, она же и последняя. А если осетрина второй свежести, то это означает, что она тухлая!» строгость доказательства бывает только одна - строгое доказательство, а все остальное на математическом жаргоне называется не доказательством, а "враньем".

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #1181432 писал(а):

vicvolf в сообщении #1181402 писал(а):

Конечно это не является доказательством в строгом смысле

Вам будет полезно узнать, что "Свежесть бывает только одна — первая, она же и последняя. А если осетрина второй свежести, то это означает, что она тухлая!» строгость доказательства бывает только одна - строгое доказательство, а все остальное на математическом жаргоне называется не доказательством, а "враньем".

Я думаю, что все кто интересуются теорией вероятности знают, что утверждение почти достоверно или произойдет почти наверняка или с вероятностью равной 1 является аналогом строго понятия "почти всюду" теории меры. А для тех,кто не знает, то это не называется "враньем", если после утверждения написано, что оно выполняется с вероятностью 1.
В книге П. Рибенбойм "Рекорды простых чисел" целая глава посвящена доказательству таких утверждений о простых числах и в частности известных математиков Харди и Литтлвуда. Идея такого доказательства хорошо пояснена Крамером: "В рассуждениях, связанных с асимптотическими свойствами арифметических функций, часто возможно применение следующего вероятностного утверждения. Если, например, мы интересуемся распределением данной последовательности S целых чисел, рассматриваем S как элемент бесконечного класса C последовательностей, которые можно конкретно интерпретировать как возможные реализации некоторой игры случая. Тогда во многих случаях можно доказать с вероятностью равной 1, некоторое соотношение R выполняется в С, или в точном математическом смысле "почти все" последовательности из С удовлетворяют R."

[Brukvalub]

vicvolf, не нужно неловко передергивать.
1.Никто из разумных математиков не сравнивает результаты, полученные для "почти всех" реализаций с классическими теоремами, доказанными для всех случаев и не причмокивает оттого, что оценки "почти всюду" получились лучше.
2. Никто из разумных математиков не назначает распределения вероятностей "от фонаря", по принципу "кажется, что распределение простых удовлетворяет вот такому закону", а потом получает какие-то "результаты", основанные на понравившемся выборе распределения.
3. И уж совсем никто не анализирует конечные куски бесконечных последовательностей, а потом безосновательно делает сравнительные выводы для всех членов последовательностей.

[vicvolf]

Brukvalub
Если бы Вы прочитали и разобрались в статье, на которую я здесь делал ссылку, а не скользили бы по верхам, то поняли:
1. Все вероятностные модели распределения простых чисел в статье обоснованы.
2.Гипотезы, доказанные в работе с вероятностью равной 1 до сих пор вообще никак не были доказаны.
К сожалению, прочесть и разобраться в статье теперь большая редкость, когда столько удовольствия можно получить от ее огульной критики!

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1181970 писал(а):

Brukvalub
Если бы Вы прочитали и разобрались в статье, на которую я здесь делал ссылку

"Я глупостей не чтец,
А пуще образцовых"
Мне хватило чтения открытых вами здесь тем, чтобы навсегда составить мнение об уровне ваших "открытий". Увольте от чтения пересказов этих "открытий", мне и без того хватает проверок нелепых студенческих работ. Это-ж надо! 5 страниц ПЯТЬ, Карл, ПЯТЬ! переливать из пустого в порожнее про повороты и растяжения. Я рассказываю подобный материал первокурам максимум за половину лекции, и за один семинар обучаю их подобным навыкам, а здесь - ПЯТЬ страниц!!!

[sergei1961]

Brukvalub- "И уж совсем никто не анализирует конечные куски бесконечных последовательностей, а потом безосновательно делает сравнительные выводы для всех членов последовательностей" - тут не согласился бы с Вами. Ограничусь одним примером. Вот классики анализировали конечное число последовательности простых чисел, и сделали отсюда достаточно известные выводы для всей бесконечной последовательности, так возник закон распределения простых, так же?

[Red_Herring]

sergei1961
Классики (и не только они) действительно строили гипотезы, но не считали это доказательством.

[sergei1961]

Red_Herring - считали это доказательством... Я разве такое говорил? Было сказано: делали выводы. А потом искали доказательства. И нашли.