Максимальная площадь

[alcoholist]

Задача такая. Найти функцию на $[0;2]$, площадь под графиком которой была бы максимальной. Функция и ее первые производные обращаются на концах отрезка в ноль. Вторая производная ограничена по модулю константой (там, где имеется).

Я ничего не придумал лучше, чем проинтегрировать вторую производную $-Cx^2\le f(x)\le Cx^2$ и
в качестве решения взял

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} Cx^2,&0\le x\le 1\\ C(2-x)^2,& 1\le x\le 2\end{array}\right. $$

я вообще осмысленные действия совершил?

[grizzly]

alcoholist в сообщении #1180997 писал(а):

Вторая производная ограничена по модулю константой (там, где имеется).

А это условие не получится использовать с большей пользой? Например, взять какого-то недифференцируемого монстра (типа Вейерштрасса на соответствующем подынтервале), растянуть на нужный интервал, сильно поднять вверх внутри интервала и сгладить до существования первой производной только на границах интервала.

[Pphantom]

alcoholist в сообщении #1180997 писал(а):

Задача такая. Найти функцию на $[0;2]$, площадь под графиком которой была бы максимальной. Функция и ее первые производные обращаются на концах отрезка в ноль. Вторая производная ограничена по модулю константой (там, где имеется).

При таком условии никакие особые монстры и не нужны, площадь и так можно сделать сколь угодно большой. См. картинку ниже, причем верхушку ломаной можно понимать на любой желаемый уровень (т.е. получать любую площадь).

[alcoholist]

Pphantom в сообщении #1181004 писал(а):

При таком условии площадь можно сделать сколь угодно большой

Ну, наверное, ограниченность второй производной надо понимать в том смысле, что скачки первой ограничены... В общем, так понимать, чтобы осмысленно было задачу ставить)
Ок... давайте гладкую функцию будем искать. Может ли мой пример быть (недостижимым) супремумом?

[grizzly]

alcoholist в сообщении #1181006 писал(а):

Ок... давайте гладкую функцию будем искать.

Достаточно гладкую или просто гладкую? Разве сложно построить гладкую функцию, нигде дважды не дифференцируемую, со сколь угодно большой площадью под графиком, которая бы обращалась в нуль на концах отрезка вместе со своими первыми производными?

[atlakatl]

Написал и передумал.

[Sender]

grizzly в сообщении #1181020 писал(а):

Разве сложно построить гладкую функцию, нигде дважды не дифференцируемую, со сколь угодно большой площадью под графиком, которая бы обращалась в нуль на концах отрезка вместе со своими первыми производными?

Да вот хоть взять функцию, предложенную Pphantom-ом, и скруглить углы.
Не годится из-за ограничения на модуль второй производной.

[atlakatl]

Если задать ограничение ещё и по высоте, то есть над чем подумать.

[alcoholist]

grizzly в сообщении #1181020 писал(а):

Достаточно гладкую или просто гладкую?

$C^\infty$

-- Пт дек 30, 2016 16:49:01 --

atlakatl в сообщении #1181025 писал(а):

Если задать ограничение ещё и по высоте

они должны сидеть в ограничении на вторую производную

[Vince Diesel]

alcoholist в сообщении #1181006 писал(а):

Ок... давайте гладкую функцию будем искать. Может ли мой пример быть (недостижимым) супремумом?

Непохоже. Можно ограничиться только симметричными решениями: $f(2-x)=f(x)$, иначе взять полусумму $(f(x)+f(2-x))/2$ с той же площадью. Однако для гладких решений в этом случае получается дополнительное условие $f'(1)=0$.

[alcoholist]

Vince Diesel в сообщении #1181032 писал(а):

Однако для гладких решений в этом случае получается дополнительное условие $f'(1)=0$

И хорошо... Задача явно симметрична.

[Vince Diesel]

Но тогда нельзя взять ваше решение. Если первая производная увеличивается по максимуму (допускаемому оценкой на вторую производную, скажем $f''(x)=C$), от $x=0$ до $x=1/2$, то она должна убывать до нуля на $[1/2,1]$, $f''(x)=-C$.

[grizzly]

Vince Diesel в сообщении #1181036 писал(а):

Но тогда нельзя взять ваше решение.

Ну так оно даже на $C^1$-гладкость не претендует.
А у всяких "шапочек" ограничения будто бы избыточные, но без них не так просто что-то явное рисовать с новыми ограничениями, не то что максимизировать.

[Sender]

Если говорить о гладких функциях, можно в качестве второй производной взять какой-нибудь арктангенс или гиперболический тангенс, масштабированный в желаемой степени. Есть подозрение, что супремумом площадей в этом случае будет результат из первого поста.

[Pphantom]

Тогда, разложив функцию в ряд Маклорена $f(x) = \sum\limits_{j=2}^\infty a_j \, x^j,$, получаем, что при условии $ \sum\limits_{j=2}^\infty j a_j = 0 $ нужно найти максимум $ \sum\limits_{j=2}^\infty \frac{a_j}{j}$