Максимальная площадь

[alcoholist]

Vince Diesel в сообщении #1181036 писал(а):

то она должна убывать до нуля на $[1/2,1]$, $f''(x)=-C$

она как была, так и осталась... выпуклость не менялась
производная РАСТЕТ до нуля

[Pphantom]

Хотя, пожалуй, нет: гладкости в $x=1$ это не обеспечит.

[Vince Diesel]

alcoholist в сообщении #1181041 писал(а):

она как была, так и осталась... выпуклость не менялась

Не понял. Для условия $|f''|\le C$ получается $f''(x)=C$ при $0<x<1/2$ и $f''(x)=-C$ при $1/2<x<1$,

$$ f(x)= \begin{cases} \frac{Cx^2}{2} & 0<x\leq \frac{1}{2} \\ \frac{C}{4} \left(-2 x^2+4 x-1\right) & \frac{1}{2}<x\leq 1 \end{cases} $$

и $f(1)=C/4$ а не $f(1)=C/2$, как в случае постоянного роста $f'$ на $[0,1]$.

[VPro]

Сформулируем задачу как задачу оптимального перемещения точки единичной массы ограниченной силой:
$\dot x_1=x_2, \quad \dot x_2=u;$
$x_1(0)=x_2(0)=x_1(2)=x_2(2)=0;$
$\int_0^2{x_1(t)dt}\to \max_u, \quad |u|\le C$
Можно применить принцип максимума и получить строгое решение. Но мне представляется очевидным, что задача сводится к задаче перемещения точки за время $t=1$ на максимальное расстояние $x_1(1)$ с нулевой конечной скоростью $x_2(1)=0$ и симметричному возвращению точки в нулевое состояние. И оптимальный закон управления имеет вид $u^*=C$ при $0\le t<0.5$, $u^*=-C$ при $0.5\le t<1.5$, $u^*=C$ при $1.5\le t<2$, а искомая оптимальная функция $x^*_1(t)$ имеет вид гладкого колокола, составленного из парабол. Максимальное значение $\int_0^2{x^*_1(t)dt}=0.25C$.

[alcoholist]

Vince Diesel в сообщении #1181049 писал(а):

Для условия $|f''|\le C$

Откуда это условие? Почему отрезок $[0;1]$? Лень в уме на двойки умножать-делить...

[Vince Diesel]

На $[1,2]$ симметрично.

[atlakatl]

Именно парабола - и только она - в любой точке точно равна в своей второй производной заданной константе. А значит, и площадь будет максимальна. Любая иная функция "срезает" на графике - касательной второй производной - часть этой площади.