2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 14:00 
Аватара пользователя
Задача такая. Найти функцию на $[0;2]$, площадь под графиком которой была бы максимальной. Функция и ее первые производные обращаются на концах отрезка в ноль. Вторая производная ограничена по модулю константой (там, где имеется).

Я ничего не придумал лучше, чем проинтегрировать вторую производную $-Cx^2\le f(x)\le Cx^2$ и
в качестве решения взял
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
Cx^2,&0\le x\le 1\\
C(2-x)^2,& 1\le x\le 2\end{array}\right.
$$

я вообще осмысленные действия совершил?

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 14:29 
Аватара пользователя
alcoholist в сообщении #1180997 писал(а):
Вторая производная ограничена по модулю константой (там, где имеется).
А это условие не получится использовать с большей пользой? Например, взять какого-то недифференцируемого монстра (типа Вейерштрасса на соответствующем подынтервале), растянуть на нужный интервал, сильно поднять вверх внутри интервала и сгладить до существования первой производной только на границах интервала.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 14:41 
alcoholist в сообщении #1180997 писал(а):
Задача такая. Найти функцию на $[0;2]$, площадь под графиком которой была бы максимальной. Функция и ее первые производные обращаются на концах отрезка в ноль. Вторая производная ограничена по модулю константой (там, где имеется).
При таком условии никакие особые монстры и не нужны, площадь и так можно сделать сколь угодно большой. См. картинку ниже, причем верхушку ломаной можно понимать на любой желаемый уровень (т.е. получать любую площадь).


У вас нет доступа для просмотра вложений в этом сообщении.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 14:53 
Аватара пользователя
Pphantom в сообщении #1181004 писал(а):
При таком условии площадь можно сделать сколь угодно большой

Ну, наверное, ограниченность второй производной надо понимать в том смысле, что скачки первой ограничены... В общем, так понимать, чтобы осмысленно было задачу ставить)
Ок... давайте гладкую функцию будем искать. Может ли мой пример быть (недостижимым) супремумом?

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 16:11 
Аватара пользователя
alcoholist в сообщении #1181006 писал(а):
Ок... давайте гладкую функцию будем искать.
Достаточно гладкую или просто гладкую? Разве сложно построить гладкую функцию, нигде дважды не дифференцируемую, со сколь угодно большой площадью под графиком, которая бы обращалась в нуль на концах отрезка вместе со своими первыми производными?

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 16:14 
Аватара пользователя
Написал и передумал.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 16:25 
grizzly в сообщении #1181020 писал(а):
Разве сложно построить гладкую функцию, нигде дважды не дифференцируемую, со сколь угодно большой площадью под графиком, которая бы обращалась в нуль на концах отрезка вместе со своими первыми производными?

Да вот хоть взять функцию, предложенную Pphantom-ом, и скруглить углы.
Не годится из-за ограничения на модуль второй производной.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 16:31 
Аватара пользователя
Если задать ограничение ещё и по высоте, то есть над чем подумать.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 16:48 
Аватара пользователя
grizzly в сообщении #1181020 писал(а):
Достаточно гладкую или просто гладкую?

$C^\infty$

-- Пт дек 30, 2016 16:49:01 --

atlakatl в сообщении #1181025 писал(а):
Если задать ограничение ещё и по высоте

они должны сидеть в ограничении на вторую производную

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:12 
alcoholist в сообщении #1181006 писал(а):
Ок... давайте гладкую функцию будем искать. Может ли мой пример быть (недостижимым) супремумом?

Непохоже. Можно ограничиться только симметричными решениями: $f(2-x)=f(x)$, иначе взять полусумму $(f(x)+f(2-x))/2$ с той же площадью. Однако для гладких решений в этом случае получается дополнительное условие $f'(1)=0$.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:13 
Аватара пользователя
Vince Diesel в сообщении #1181032 писал(а):
Однако для гладких решений в этом случае получается дополнительное условие $f'(1)=0$

И хорошо... Задача явно симметрична.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:27 
Но тогда нельзя взять ваше решение. Если первая производная увеличивается по максимуму (допускаемому оценкой на вторую производную, скажем $f''(x)=C$), от $x=0$ до $x=1/2$, то она должна убывать до нуля на $[1/2,1]$, $f''(x)=-C$.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:39 
Аватара пользователя
Vince Diesel в сообщении #1181036 писал(а):
Но тогда нельзя взять ваше решение.
Ну так оно даже на $C^1$-гладкость не претендует.
А у всяких "шапочек" ограничения будто бы избыточные, но без них не так просто что-то явное рисовать с новыми ограничениями, не то что максимизировать.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:42 
Если говорить о гладких функциях, можно в качестве второй производной взять какой-нибудь арктангенс или гиперболический тангенс, масштабированный в желаемой степени. Есть подозрение, что супремумом площадей в этом случае будет результат из первого поста.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:42 
Тогда, разложив функцию в ряд Маклорена $f(x) = \sum\limits_{j=2}^\infty a_j \, x^j,$, получаем, что при условии $ \sum\limits_{j=2}^\infty j a_j = 0 $ нужно найти максимум $ \sum\limits_{j=2}^\infty \frac{a_j}{j}$

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group