Формула Эйнштейна для броуновского движения

[Uchitel'_istorii]

Вопрос по Фейнмановским лекциям по физике, лекция 41, § 4 Случайные блуждания
http://www.politazbuka.info/biblioteka/ ... iyami.html , стр.61

Цитата:

Что можно сказать о произведении $x$ на силу? Хоть частица и добралась до точки $x$, последующие толчки могут быть направлены в любом направлении по отношению к $x$, ведь случайная сила полностью случайна и ей нет дела, откуда частица начала двигаться. Если кордината $x$ положительна, у средней силы нет никаких оснований направиться в этом же направлении. Для нее оно столь же вероятно, как и любое другое. Случайные силы не могут отправить частицу в определенном направлении. Поэтому среднее произведения $x$ на $F_x$ равно нулю. С другой стороны, слагаемому $mx(d^2x/dt^2) можно, немного повозившись, придать вид
$mx\,\tfrac{d^2x}{dt^2} = m\,\tfrac{d[x(dx/dt)]}{dt} - m(\tfrac{dx}{dt})^2.
Мы разбили первоначальное слагаемое на два и должны усреднить их оба. Посмотрим, чему же равно произведение х на скорость. Это произведение не изменяется со временем, потому что, когда частица попадает в заданную точку, она уже не помнит, где она была раньше, и характеризующие такие ситуации величины не должны зависеть от времени. Поэтому среднее значение этой величины равно нулю.

Никак не могу понять ни почему $xF_x=0, ни почему $xdx/dt = 0. По 1-му мы должны сложить множество случайных векторов силы, верно? Но в гл.32 Фейнман упоминал, что если складывать много векторов в случайных направлениях, то результирующий вектор будет = \sqrt{\text{Number of atoms}}, а не ноль. По 2-му также неясно, т.к. есть некая ненулевая скорость диффузии и ненулевой радиус распространения атомов в среде, следовательно $x\neq 0$ и $dx/dt\neq 0$.

[DimaM]

Uchitel'_istorii в сообщении #1180170 писал(а):

Но в гл.32 Фейнман упоминал, что если складывать много векторов в случайных направлениях, то результирующий вектор будет $= \sqrt{\text{чило атомов}}$, а не ноль.

И в какую сторону этот вектор будет направлен? И почему именно в эту?
Выражение, которое вы написали, верно для модуля суммарного вектора.

Uchitel'_istorii в сообщении #1180170 писал(а):

По 2-му также неясно, т.к. есть некая ненулевая скорость диффузии и ненулевой радиус распространения атомов в среде, следовательно $x\neq 0$ и $dx/dt\neq 0$.

Координата и скорость - независимые случайные величины, поэтому среднее от произведения равно произведению средних.
Чему равны среднее смещение и средняя скорость при изотропной диффузии?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 26.12.2016, 16:00 --

Пожалуй, это тот случай, когда векторное описание проще, чем рассмотрение проекций. Если радиус-вектор частицы $\vec r$, а случайная сила $\vec F$, то аналогичные выкладки для уравнения движения приведут к необходимости сосчитать $\langle \vec r \cdot \vec F \rangle = \langle r F \cos \theta \rangle$, где $\theta$ - угол между $\vec r$ и $\vec F$. После этого можно сказать, что, поскольку направления и модули $\vec F$ друг от друга не зависят (и всевозможные направления случайной силы равновероятны), то честно вычисленное среднее можно разбить на произведение средних величин. Соответственно, одним из сомножителей будет $\langle \cos \theta \rangle$, которое при изотропии очевидно равно нулю.

[Uchitel'_istorii]

DimaM в сообщении #1180183 писал(а):

Чему равны среднее смещение и средняя скорость при изотропной диффузии?

Если взять один атом и заставить его двигаться вдоль оси X, то за время $t$ в 50% экспериментов он будет смещён в среднем на +\sqrt{\alpha t} и в 50% он будет смещен на -\sqrt{\alpha t}. Поэтому среднее арифметическое будет ноль. Правильно?

[DimaM]

Uchitel'_istorii в сообщении #1180241 писал(а):

Если взять один атом и заставить его двигаться вдоль оси X, то за время $t$ в 50% экспериментов он будет смещён в среднем на $+\sqrt{\alpha t}$ и в 50% он будет смещен на $-\sqrt{\alpha t}$. Поэтому среднее арифметическое будет ноль. Правильно?

Средние положительные и отрицательные смещения при гауссовском распределении будут другими (в $\sqrt{2\pi}$ раз меньше).
Но среднее будет действительно нуль (проще всего, мне кажется, понять в модели пьяного моряка, где смещение за шаг фиксировано $\pm d$).

[Munin]

DimaM в сообщении #1180243 писал(а):

в $\sqrt{2\pi}$ раз меньше

Для оценок "по порядку величины" этим множителем можно пренебречь.

[DimaM]

Munin в сообщении #1180314 писал(а):

Для оценок "по порядку величины" этим множителем можно пренебречь.

Мне, скорее, не нравится сама постановка "в 50% случаев будет среднее смещение $+l$, в оставшихся 50% $-l$". Ну и не вредно еще разок намекнуть, что среднее не равно корню из среднего квадрата.

[Munin]

С первым умеренно согласен, со вторым крайне согласен.

[wide]

Uchitel'_istorii в сообщении #1180170 писал(а):

Никак не могу понять ни почему $xF_x=0$, ни почему $xdx/dt = 0$.

По второму вопросу, на мой взгляд, текст Фейнмана надо читать так - производная по времени $x$ на скорость равна нулю.
Смотрим с чего все начинается:
$\left\langle R^2\right\rangle =\alpha t$ (41.17)
Для одномерного случая:
$\left\langle x^2\right\rangle =\dfrac{1}{3}\alpha t$
Теперь берем производную по времени:
$\dfrac{d}{dt}\left\langle x^2\right\rangle =\dfrac{1}{3}\alpha$
В свою очередь:
$\dfrac{d}{dt}\left\langle x^2\right\rangle = \left\langle 2x\dfrac{dx}{dt}\right\rangle $, т.е. $\left\langle x\dfrac{dx}{dt}\right\rangle =\dfrac{1}{6}\alpha$
Теперь смотрим на преобразование первого члена формулы (41.19):
$\left\langle mx\dfrac{d^2x}{dt^2}\right\rangle = \left\langle m\dfrac{d}{dt}\left (x\dfrac{dx}{dt}\right )\right\rangle - \left\langle m \left (\dfrac{dx}{dt}\right )^2\right\rangle$
$\left\langle m\dfrac{d}{dt}\left (x\dfrac{dx}{dt}\right )\right\rangle = \left\langle m\dfrac{d}{dt}\left (\dfrac{1}{6}\alpha\right )\right\rangle = \left\langle0\right\rangle$, т.к. $\alpha = \operatorname{const}$, а усреднение тут вообще ни при чем.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

Ну и не вредно еще разок намекнуть, что среднее не равно корню из среднего квадрата.

Среднее арифметическое отклонений не равно среднеквадратичному отклонению по определению. Но в лекции 6 Фейнман пишет, что среднее расстояние и есть среднеквадратичное.

Цитата:

Мне, скорее, не нравится сама постановка "в 50% случаев будет среднее смещение $+l$, в оставшихся 50% $-l$".

Смещения могут быть любые: от нуля до $\pm |NL|$, ($N$ - количество столкновений, $L$ - длина свободного пробега). Если разделить отрезок $[-|NL|;+|NL|]$ на равные интервалы, то наибольшее количество исходов будет со смещением , попадающим в интервал вблизи нуля. Но тогда я не могу понять, что означает среднеквадратичное отклонение и что оно показывает. - Что больше этого отклонения атом не уйдет? - Нет, есть вероятность 33%, что будет большее отклонение. - Что это среднее отклонение? - Тоже нет. - Вероятность получить с.-к. отклонение больше, чем любое другое? - Опять нет, наибольшая вероятность - получить нулевое отклонение.

[DimaM]

Uchitel'_istorii в сообщении #1180555 писал(а):

Но тогда я не могу понять, что означает среднеквадратичное отклонение и что оно показывает.

Оно показывает средний квадрат смещения ;).
Если выпустить из одной точки много частиц, то среднеквадратичное отклонение даст некоторый характерный размер этого облака.

-- 28.12.2016, 09:23 --

Uchitel'_istorii в сообщении #1180555 писал(а):

Но в лекции 6 Фейнман пишет, что среднее расстояние и есть среднеквадратичное.

Там, насколько я понимаю, говорится исключительно про среднеквадратичное.

Кстати, несложно написать программку, которая бы случайно смещала частицы влево или вправо, да поглядеть, как меняется гистограмма со временем.
У нас нечто подобное уже было проделано, поглядите в методичке - раздел 1.5.

[Uchitel'_istorii]

DimaM в сообщении #1180566 писал(а):

У нас нечто подобное уже было проделано, поглядите в методичке - раздел 1.5.

Допустим, программа будет моделировать 100 заходов по 30 шагов в каждом, как это описано для монет в лекции 6, где орел означает шаг +1 , а решка -1. Тогда среднее расстояние нужно рассчитать так:
$<D>=\tfrac{D_1+D_2+...+D_{100}}{100}$,
где $D_i$ - расстояние от точки старта, наблюдаемое в i-том заходе поле 30 шагов.
Среднеквадратичное расстояние нужно рассчитать так:
$D_{rms}=\sqrt{\tfrac{(D_1)^2+(D_2)^2+...+(D_{100})^2}{100}}$
Правильно? И мы должны получить $D_{rms}=\sqrt{30}$ и $<D>=0$.

[Munin]

Увы, матстатистика так не работает. Вы получите только примерно $\langle D\rangle\approx 0.$