2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Матрицы и комплексные числа.
Сообщение07.05.2008, 01:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Тому, кто не знает, это может быть интересно.

Рассмотрим матрицу с вещественными $a,b$
$\left( \begin{array}{cc} a & b \\-b & a \end{array} \right)$
Её можно представить
$\left( \begin{array}{cc} a & b \\-b & a \end{array} \right)=aE+bI$
где $E$ единичная матрица, а
$I=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{array} \right)$
Но
$I^2=-E$
Следовательно имеем взаимнооднозначное отображение /изоморфизм/ между матрицами
$\left( \begin{array}{cc} a & b \\-b & a \end{array} \right)$
и комплексными числами
$a+bi$
Нетрудно проверить изоморфность произведения $AB=BA$ и соответствующих комплексных чисел.
А теперь применим полученные результаты.
$\left( \begin{array}{cc} Cos \alpha & Sin \alpha \\-Sin \alpha  & Cos \alpha  \end{array} \right)^n \to (Cos \alpha +iSin \alpha)^n=Cos (n \alpha)+i Sin (n \alpha) \to  \left( \begin{array}{cc} Cos (n \alpha) & Sin(n \alpha) \\-Sin(n \alpha)  &Cos(n \alpha)  \end{array} \right)   $
Легко и просто, правда, не все преподы согласятся с таким решением. А как её решать, я и сам не знаю. Индукцией что ли...
Для усвояния. Задачка от Д.К.Фадеева. /Со звёздочкой. Повышенной трудности!/ Сборник задач по высшей алгебре.
Найти предел
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( \begin{array}{cc} 1 & \alpha n^-^1 \\-\alpha n^-^1 & 1 \end{array} \right)^n$
$\alpha$ - вещественно.
p.s. Изоморфизм - это тоже взято из Фадеева.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2008, 03:22 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
И что тут олимпиадного?

С учебными задачами (для "усвояния") в другой раздел!!!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 07:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Профессор Снэйп писал(а):
И что тут олимпиадного?

С учебными задачами (для "усвояния") в другой раздел!!!

Цитата:
Олимпиадные задачи
Обсуждение задач по математике, предлагавшихся на школьных и студенческих олимпиадах: региональных, национальных, международных.
Обсуждение нетривиальных и нестандартных учебных задач.

Вот я и показал нестандартный метод решения некоторого класса задач.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 08:39 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Коровьев писал(а):
Вот я и показал нестандартный метод решения некоторого класса задач.


Пардон, а что тут нестандартного? Изоморфное вложение

$$
a + bi \mapsto
\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array}
\right)
$$

$\mathbb{C}$ в $M_2(\mathbb{R})$ хорошо известно и фигурирует во множестве учебных пособий. Тоже мне, Америка...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Профессор Снэйп
Да, в Кострикине я где то это видел :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 09:57 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
В научной литературе такие вещи принято называть "фольклор".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 11:14 
Аватара пользователя


23/09/07
364
Профессор Снэйп писал(а):
Изоморфное вложение ... хорошо известно и фигурирует во множестве учебных пособий

Фишка в том, что это вложение поля в кольцо ещё и должно быть непрерывным, иначе как можно говорить, что предел матриц соответствует пределу соответствующих комплексных чисел?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 11:18 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Echo-Off писал(а):
Профессор Снэйп писал(а):
Изоморфное вложение ... хорошо известно и фигурирует во множестве учебных пособий

Фишка в том, что это вложение поля в кольцо ещё и должно быть непрерывным, иначе как можно говорить, что предел матриц соответствует пределу соответствующих комплексных чисел?


А что, непрерывность в данном случае есть что-то неочевидное?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 11:31 
Аватара пользователя


23/09/07
364
Мдя.
При более внимательном взгляде действительно очевидно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Для школьников это будет интересным и неочевидным. А если ещё кватернионы привлечь --- так вообще песня.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 13:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Давным-давно, когда я учился на 1-м курсе, А.И. Кострикин дал нам на лекции определение комплексных чисел именно как особого вида матриц, чем немало удивил аудиторию. Так что, такой подход даже может быть положен в основу лекции о комплексных числах :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Аналогичным образом с помощью матриц можно умножать друг на друга и складывать иррациональные числа,
например, вида $a+b \sqrt[3]{p}+c \sqrt[3]{p^2}$ (здесь $p$ фиксировано), только не знаю, как это использовать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Brukvalub писал(а):
Давным-давно, когда я учился на 1-м курсе, А.И. Кострикин дал нам на лекции определение комплексных чисел именно как особого вида матриц, чем немало удивил аудиторию. Так что, такой подход даже может быть положен в основу лекции о комплексных числах

Профессор Д.М.Смирнов в НГУ именно этот подход и использовал, читая лекции для химиков (!). А я за ним семинары вёл - вставал на уши убеждая, что изоморфизм это вещь!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 23:39 
Аватара пользователя


23/09/07
364
Brukvalub писал(а):
Давным-давно, когда я учился на 1-м курсе, А.И. Кострикин дал нам на лекции определение комплексных чисел именно как особого вида матриц, чем немало удивил аудиторию. Так что, такой подход даже может быть положен в основу лекции о комплексных числах

И основная теорема алгебры доказывается хорошо?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.05.2008, 07:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Echo-Off писал(а):
И основная теорема алгебры доказывается хорошо?
А разве она внутренними средствами алгебры вообще доказывается? Если же говорить об истории моего образования, то на следующей лекции Алексей Иванович обозначил нужную матрицу буквой i и комплексные числа приняли общепринятый вид :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group