2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение09.05.2008, 08:39 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Brukvalub писал(а):
Echo-Off писал(а):
И основная теорема алгебры доказывается хорошо?
А разве она внутренними средствами алгебры вообще доказывается?


В книге С. Ленга можно найти доказательство Артина. Оно использует только следующие "неалгебраические" факты:

1) $\mathbb{R}$ есть упорядоченное поле, каждый положительный элемент которого является квадратом;

2) каждый многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет корень в $\mathbb{R}$.

Любой из этих фактов легко доказывается средствами матанализа, а вот что касается "чистой алгебры"... вряд ли ею можно обойтись.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.05.2008, 17:18 
Аватара пользователя


23/09/07
364
Профессор Снэйп писал(а):
каждый положительный элемент которого является квадратом

Квадратом чего? Рационального числа?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.05.2008, 17:29 


08/05/08
601
Echo-Off писал(а):
Профессор Снэйп писал(а):
каждый положительный элемент которого является квадратом

Квадратом чего? Рационального числа?

Если внимательно посмотреть на исходную формулировку то понятно, что квадратом числа из $\mathbb{R}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.05.2008, 17:56 
Аватара пользователя


23/09/07
364
аа, понял
мне вначале показалось, что первый пункт звучит как "в $\mathbb{R}$ есть упорядоченное поле..."

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2008, 20:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
worm2 писал(а):
Для школьников это будет интересным и неочевидным. А если ещё кватернионы привлечь --- так вообще песня.

До кучи.
МАтрицы и кватернионы.
$$
A=\left(
\begin{array}{cc}
a+bj & c+dj \\
c-dj & a-bj
\end{array}
\right) =aE+bI+cJ+dK
$$,
Где
$$
E=\left(
\begin{array}{cc}
1& 0\\
0 & 1
\end{array}
\right)
$$,
$$
I=\left(
\begin{array}{cc}
j& 0\\
0 & -j
\end{array}
\right)
$$,
$$
J=\left(
\begin{array}{cc}
0& 1\\
-1 & 0
\end{array}
\right)
$$,
$$
K=\left(
\begin{array}{cc}
0& j\\
j &0
\end{array}
\right)
$$,
Тогда
$I^2=J^2=K^2=-E$
$IJ=-JI=K$
$JK=-KJ=I$
$KI=-IK=J$
$ \mid A \mid =a^2+b^2+c^2+d^2$
Сумма/произведение матриц такого вида есть матрица такого же вида.
Из всего сказанного следует, что такие матрицы реализуют алгебру кватернионов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.05.2008, 10:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3156
Уфа
Я имел в виду немножко другое представление, в виде действительных матриц 4x4:
$$
a+bi+cj+dk=\left(
\begin{array}{cccc}
a & b & c & d\\
-b & a & -d & c\\
-c & d & a & -b\\
-d & -c & b & a
\end{array}\right)
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group