Матрицы и комплексные числа.

[Коровьев]

Тому, кто не знает, это может быть интересно.

Рассмотрим матрицу с вещественными $a,b$
$\left( \begin{array}{cc} a & b \\-b & a \end{array} \right)$
Её можно представить
$\left( \begin{array}{cc} a & b \\-b & a \end{array} \right)=aE+bI$
где $E$ единичная матрица, а
$I=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{array} \right)$
Но
$I^2=-E$
Следовательно имеем взаимнооднозначное отображение /изоморфизм/ между матрицами
$\left( \begin{array}{cc} a & b \\-b & a \end{array} \right)$
и комплексными числами
$a+bi$
Нетрудно проверить изоморфность произведения $AB=BA$ и соответствующих комплексных чисел.
А теперь применим полученные результаты.
$\left( \begin{array}{cc} Cos \alpha & Sin \alpha \\-Sin \alpha & Cos \alpha \end{array} \right)^n \to (Cos \alpha +iSin \alpha)^n=Cos (n \alpha)+i Sin (n \alpha) \to \left( \begin{array}{cc} Cos (n \alpha) & Sin(n \alpha) \\-Sin(n \alpha) &Cos(n \alpha) \end{array} \right) $
Легко и просто, правда, не все преподы согласятся с таким решением. А как её решать, я и сам не знаю. Индукцией что ли...
Для усвояния. Задачка от Д.К.Фадеева. /Со звёздочкой. Повышенной трудности!/ Сборник задач по высшей алгебре.
Найти предел
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( \begin{array}{cc} 1 & \alpha n^-^1 \\-\alpha n^-^1 & 1 \end{array} \right)^n$
$\alpha$ - вещественно.
p.s. Изоморфизм - это тоже взято из Фадеева.

[Профессор Снэйп]

И что тут олимпиадного?

С учебными задачами (для "усвояния") в другой раздел!!!

[Коровьев]

Профессор Снэйп писал(а):

И что тут олимпиадного?

С учебными задачами (для "усвояния") в другой раздел!!!

Цитата:

Олимпиадные задачи
Обсуждение задач по математике, предлагавшихся на школьных и студенческих олимпиадах: региональных, национальных, международных.
Обсуждение нетривиальных и нестандартных учебных задач.

Вот я и показал нестандартный метод решения некоторого класса задач.

[Профессор Снэйп]

Коровьев писал(а):

Вот я и показал нестандартный метод решения некоторого класса задач.

Пардон, а что тут нестандартного? Изоморфное вложение

$$ a + bi \mapsto \left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array} \right) $$

$\mathbb{C}$ в $M_2(\mathbb{R})$ хорошо известно и фигурирует во множестве учебных пособий. Тоже мне, Америка...

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
Да, в Кострикине я где то это видел

[Профессор Снэйп]

В научной литературе такие вещи принято называть "фольклор".

[Echo-Off]

Профессор Снэйп писал(а):

Изоморфное вложение ... хорошо известно и фигурирует во множестве учебных пособий

Фишка в том, что это вложение поля в кольцо ещё и должно быть непрерывным, иначе как можно говорить, что предел матриц соответствует пределу соответствующих комплексных чисел?

[Профессор Снэйп]

Echo-Off писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Изоморфное вложение ... хорошо известно и фигурирует во множестве учебных пособий

Фишка в том, что это вложение поля в кольцо ещё и должно быть непрерывным, иначе как можно говорить, что предел матриц соответствует пределу соответствующих комплексных чисел?

А что, непрерывность в данном случае есть что-то неочевидное?

[Echo-Off]

Мдя.
При более внимательном взгляде действительно очевидно.

[worm2]

Для школьников это будет интересным и неочевидным. А если ещё кватернионы привлечь --- так вообще песня.

[Brukvalub]

Давным-давно, когда я учился на 1-м курсе, А.И. Кострикин дал нам на лекции определение комплексных чисел именно как особого вида матриц, чем немало удивил аудиторию. Так что, такой подход даже может быть положен в основу лекции о комплексных числах

[TOTAL]

Аналогичным образом с помощью матриц можно умножать друг на друга и складывать иррациональные числа,
например, вида $a+b \sqrt[3]{p}+c \sqrt[3]{p^2}$ (здесь $p$ фиксировано), только не знаю, как это использовать.

[bot]

Brukvalub писал(а):

Давным-давно, когда я учился на 1-м курсе, А.И. Кострикин дал нам на лекции определение комплексных чисел именно как особого вида матриц, чем немало удивил аудиторию. Так что, такой подход даже может быть положен в основу лекции о комплексных числах

Профессор Д.М.Смирнов в НГУ именно этот подход и использовал, читая лекции для химиков (!). А я за ним семинары вёл - вставал на уши убеждая, что изоморфизм это вещь!

[Echo-Off]

Brukvalub писал(а):

Давным-давно, когда я учился на 1-м курсе, А.И. Кострикин дал нам на лекции определение комплексных чисел именно как особого вида матриц, чем немало удивил аудиторию. Так что, такой подход даже может быть положен в основу лекции о комплексных числах

И основная теорема алгебры доказывается хорошо?

[Brukvalub]

Echo-Off писал(а):

И основная теорема алгебры доказывается хорошо?

А разве она внутренними средствами алгебры вообще доказывается? Если же говорить об истории моего образования, то на следующей лекции Алексей Иванович обозначил нужную матрицу буквой i и комплексные числа приняли общепринятый вид