Как определить понятие суммы без операции сложения?

[ede]

Вопрос в заголовке этой темы может показаться чем-то из «альтернативной науки», поэтому постараюсь пояснить, что я имею в виду.

Вкратце: я разыскиваю определение суммы произвольного количества натуральных чисел в терминах чистой теории множеств. Пока мне не удалось ни найти такого определения в литературе, ни тем более придумать самостоятельно.

В подробностях:

Пусть на столе лежат $n$ кучек яблок (${n}\in\mathbb{N}_{>0}$). Количество яблок в каждой кучке обозначим $x_i$ (${x_i}\in\mathbb{N}_{>0}$, ${i}=1…n$). Как определить понятие «общее количество яблок на столе» через ${x_i}$, не используя операцию арифметического сложения?

Во всех известных мне источниках подобные понятия так или иначе сводятся к арифметическому сложению. Однако мне это кажется не вполне корректным: сложение не отражает сути понятия, а является только одной из возможных операций, с помощью которых можно вычислить это «общее количество». Кроме того, сущность «общее количество яблок на столе» существует независимо от того, выполняем ли мы вообще какие-либо операции для её вычисления.

Также операция сложения определяется для двух и более слагаемых, а «общее количество яблок на столе» существует и вычислимо даже при $n=1$.

Меня интересовало бы определение в терминах чистой теории множеств. Отдельные натуральные числа (например, $n$ и каждое ${x_i}$) вполне определяются, например, как конечные ординалы. Мне бы хотелось найти определение $\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}$ также через теорию множеств (например, как результат объединений, пересечений и других операций над этими самыми ординалами).

Возможно ли это?

[Xaositect]

Ну если натуральные числа - это конечные ординалы, то сумма - это объединение непересекающихся множеств. Из пересекающихся множества можно сделать непересекающиеся навешиванием меток: если $x_1, \dots, x_n$ - любые множества, $x'_i = \{i\} \times x_i$, то $x'_i$ равномощны $x_i$ и не пересекаются.

[Someone]

ede в сообщении #1179440 писал(а):

Отдельные натуральные числа (например, $n$ и каждое ${x_i}$) вполне определяются, например, как конечные ординалы.

Или как конечные кардиналы. Причём, ординалы и кардиналы — это не одно и то же. "Количество" — это мощность, поэтому речь идёт о кардиналах.

ede в сообщении #1179440 писал(а):

Мне бы хотелось найти определение $\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}$ также через теорию множеств (например, как результат объединений, пересечений и других операций над этими самыми ординалами).

Зачем? И каких "других" операций? Почему бы в качестве "других" не взять операцию сложения?

Если Вы просто хотите определить операцию сложения в языке теории множеств, то это вполне возможно. Индуктивное определение существует.

Можно воспользоваться понятием мощности.

[ede]

Someone в сообщении #1179453 писал(а):

Зачем?

Затем, чтобы:
а) отвязать понятие «общее количество яблок на столе» от процедуры вычисления этого количества;
б) определение универсально работало в случае любого количества «кучек яблок», начиная с 1 или даже с «пустого стола», а не начиная с двух операндов, которые требуются для операции сложения.

[knizhnik]

Someone в сообщении #1179453 писал(а):

Если Вы просто хотите определить операцию сложения в языке теории множеств, то это вполне возможно. Индуктивное определение существует.

А как это, в языке теории множеств? Операцию $\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}$ можно определить в любом пронумерованном (конечном или счетном) кольце. Да, индуктивное определение, но сама индукция не требует языка теории множеств.

[Someone]

ede в сообщении #1179460 писал(а):

отвязать понятие «общее количество яблок на столе» от процедуры вычисления этого количества;

Что значит — "не вычисляя"? Какие действия разрешаются?

ede в сообщении #1179460 писал(а):

определение универсально работало в случае любого количества «кучек яблок», начиная с 1 или даже с «пустого стола», а не начиная с двух операндов, которые требуются для операции сложения.

Определите $\sum\limits_{k=1}^nx_k$ индукцией по $n$, начав с $\sum\limits_{k=1}^0x_k=0$.

Количество элементов в произвольном конечном множестве попарно не пересекающихся конечных множеств — это просто мощность их объединения. Объединение любого множества множеств легко определяется на языке теории множеств:

$$\bigcup X=A$$

означает, что

$$A=\{x:\exists y(y\in X\wedge x\in y)\}.$$

Стало быть, требуемая величина равна $\left\lvert\bigcup X\right\rvert$. Только мне непонятно, какая практическая польза от этого выражения.

knizhnik в сообщении #1179473 писал(а):

А как это, в языке теории множеств? Операцию $\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}$ можно определить в любом пронумерованном (конечном или счетном) кольце. Да, индуктивное определение, но сама индукция не требует языка теории множеств.

Наверное, можно, но там есть некоторые технические проблемы. Например, мы не можем написать указанное Вами выражение, не расширяя языка арифметики Пеано, ввиду отсутствия множеств в этом языке. Значит, придётся изощряться.

[knizhnik]

Xaositect в сообщении #1179489 писал(а):

При чем тут кольца вообще? У топикстартера были только натуральные числа, и определены они были как ординалы, при том и теория множеств.

Ладно. Удалил.

[Xaositect]

При чем тут кольца вообще? У топикстартера были только натуральные числа, и определены они были как ординалы, при том и теория множеств.

[ede]

Xaositect в сообщении #1179452 писал(а):

Из пересекающихся множества можно сделать непересекающиеся навешиванием меток: если $x_1, \dots, x_n$ - любые множества, $x'_i = \{i\} \times x_i$, то $x'_i$ равномощны $x_i$ и не пересекаются.

Боюсь, я не совсем понимаю, как осуществить «навешивание меток», не задавая при этом никакого порядка на полученном «помеченном» множестве.

[Xaositect]

Если не хочется порядка, можно использовать само множество как уникальную метку, т.е. для любого $X$ мощность $\bigcup\limits_{x\in X} (\{x\} \times x)$ равна сумме мощностей всех элементов $X$.

[ede]

Someone в сообщении #1179480 писал(а):

Что значит — "не вычисляя"? Какие действия разрешаются?

Допустим, операции над множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, декартово произведение.

Someone в сообщении #1179480 писал(а):

Определите $\sum\limits_{k=1}^nx_k$ индукцией по $n$, начав с $\sum\limits_{k=1}^0x_k=0$.

Благодарю вас за комментарий, поскольку благодаря ему я заметил некорректность в своём изначальном посте. Я всё-таки не хочу определять сумму $\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}$ (поскольку сумма — это и есть результат операции сложения), я ищу определение именно «общего количества яблок».

-- 23.12.2016, 18:54 --

Xaositect в сообщении #1179501 писал(а):

Если не хочется порядка, можно использовать само множество как уникальную метку, т.е. для любого $X$ мощность $\bigcup\limits_{x\in X} (\{x\} \times x)$ равна сумме мощностей всех элементов $X$.

Я подозреваю, что это не прокатит, если в некоторых «кучках яблок» их одинаковое количество. Или я что-то не так понимаю?

[Xaositect]

ede в сообщении #1179502 писал(а):

Я подозреваю, что это не прокатит, если в некоторых «кучках яблок» их одинаковое количество. Или я что-то не так понимаю?

Да, правда. Тогда напишите, как у Вас представляется этот ваш набор кучек яблок, раз на нем нет порядка. В любом случае нужны какие-то метки, чтобы различать разные кучи с одинаковой мощностью, вот их и можно использовать.

[arseniiv]

ede в сообщении #1179497 писал(а):

Боюсь, я не совсем понимаю, как осуществить «навешивание меток», не задавая при этом никакого порядка на полученном «помеченном» множестве.

Вы сами в самом начале уже ввели порядок, пронумеровав кучки натуральными числами, на которых есть естественный порядок.

ede в сообщении #1179502 писал(а):

Я всё-таки не хочу определять сумму $\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}$ (поскольку сумма — это и есть результат операции сложения)

Можно определить сумму очень неявно:

$$\sum_{i\in\varnothing} x_i = 0,\qquad \sum_{i\in A} x_i + \sum_{i\in B} x_i = \sum_{i\in A\cup B} x_i + \sum_{i\in A\cap B} x_i,$$

если $A, B$, конечно, конечные. Такое определение вам не говорит, в каком порядке что-то вычислять.

Xaositect в сообщении #1179506 писал(а):

Тогда напишите, как у Вас представляется этот ваш набор кучек яблок

Думаю, сейчас начнётся длительное велосипедостроение, если сразу не упомянуть слово «мультимножество» и то, что это по сути функция из интересующего класса элементов в кардиналы или там натуральные числа, обозначающие кратности этих элементов.

[ede]

arseniiv в сообщении #1179512 писал(а):

Вы сами в самом начале уже ввели порядок, пронумеровав кучки натуральными числами, на которых есть естественный порядок.

Благодарю вас, вы таким образом помогли мне обнаружить ещё одну ошибку в исходной постановке вопроса. Я и правда хотел определить сумму, изначально имея слагаемые в виде множества без всякого порядка.

arseniiv в сообщении #1179512 писал(а):

Думаю, сейчас начнётся длительное велосипедостроение, если сразу не упомянуть слово «мультимножество» и то, что это по сути функция из интересующего класса элементов в кардиналы или там натуральные числа, обозначающие кратности этих элементов.

И снова благодарю, ваше предложение насчёт мультимножеств навело меня на нужные мысли.

[arseniiv]

И какой ответ получился? Надеюсь, правильный: через

ede в сообщении #1179502 писал(а):

операции над множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, декартово произведение

эта штука — а именно множество

$$\bigsqcup f := \{(A, a, n) : (A, N)\in\Gamma, a\in A, n\in N \} = \bigcup\left\{\{A\}\times A\times N : (A, N)\in\Gamma\right\}$$

— не выражается (интересующее мультимножество $f$ имеет график $\Gamma$).