Как определить понятие суммы без операции сложения?

[ede]

arseniiv в сообщении #1179947 писал(а):

И какой ответ получился?

У меня получается так.

1. Исходный набор слагаемых будем представлять как конечное множество пар натуральных чисел; в каждой паре первый элемент — собственно слагаемое, а второй — его кратность.

2. Затем поставим в соответствие каждой паре декартово произведение её элементов. (Натуральные числа тоже множества, поэтому два числа можно декартово перемножить.) Так мы получаем из каждого слагаемого множество, мощность которого равна этому слагаемому.

3. Дальше каждому декартову произведению $P$ поставим в соответствие множество $P'$ таким образом: для каждого $p\in{P}$ возьмём пару $(p, P)$, и тогда $P'$ пусть будет множество всех таких пар. Так мы делаем множества из предыдущего пункта попарно непересекающимися.

4. Дальше рассмотрим объединение всех множеств $P'$ и возьмём его мощность. Это и будет сумма всех исходных слагаемых.

[arseniiv]

ede в сообщении #1180035 писал(а):

как конечное множество пар натуральных чисел

Раз уж мы условились говорить о мощностях множеств, это вполне могут быть совершенно любые, и даже бесконечные, множества.

А так да, вы пришли к тому же, что и я, ура.

[knizhnik]

arseniiv в сообщении #1179512 писал(а):

Можно определить сумму очень неявно:

$$\sum_{i\in\varnothing} x_i = 0,\qquad \sum_{i\in A} x_i + \sum_{i\in B} x_i = \sum_{i\in A\cup B} x_i + \sum_{i\in A\cap B} x_i,$$

если $A, B$, конечно, конечные. Такое определение вам не говорит, в каком порядке что-то вычислять.

Такое "определение" нам вообще ни о чем не говорит. У него может быть бесконечно много нестандартных интерпретаций. Рассмотрим случай $A \subseteq B$. Получается $A \cup B = B$, $A \cap B = A$, и

$$\sum_{i\in A} x_i + \sum_{i\in B} x_i = \sum_{i\in B} x_i + \sum_{i\in A} x_i,$$

Что теперь?

[Xaositect]

Имеется в виду для любых множеств индексов $A, B$. Но определение все равно неполное, потому что надо $\sum\limits_{i\in \{c\}} x_i = x_c$

[arseniiv]

Упс, вот это забыл, да.

[from_exiles]

Почему бы не вернуться в состояние "ничего не знаю о сложении"?

Мой внучек в 1 классе учил сложение по листику, на котором была таблица.

Три слагаемых - не плоская таблица (прямоугольник), а пространственный - параллелепипед.

Ведь любой из нас при сложении , к примеру, пяти и трёх, не загибает пальцы - сначала до пяти, и затем продолжает ещё три раза загибать.

У нас в памяти именно таблица - пять по одной стороне и три по другой,
и на перекрестье результат - восемь.
.
То есть "сложение" - это не операция, а просто команда: "Смотри таблицу".
.

[arseniiv]

Да, очень просто рассуждать о том, что является и не является операцией, не зная определения операции.