Теория игр. Парадокс в равновесии нэша для 2 участников.

[DeBill]

daniil_bj
Для Ваших ставок у меня получилось (для обоих): надо играть, если сила не менее $\frac{6}{7}$ от максимально возможной - если она достаточно велика)...

[daniil_bj]

DeBill

Моё понимание совпадает с тем, что Вы написали.
"возможных сил", как Вы выразились в задаче 4.
В оффтоп под матрицей указано, что исключены стратегии без поднятия ставки на АА.
Того получается, что стратегий $2^4/2=8$
Матрица как раз 8*8.

-- 19.12.2016, 07:29 --

DeBill

Дать список отношений рук по силе?
Честно, я не очень понимаю, как 6/7 от максимальной могут быть тут решением.
Равновесия в чистых стратегиях тут нет.

(Оффтоп)

Вы начали какую-то работу на эту тему?

[DeBill]

daniil_bj
Про $\frac{6}{7}$: это - для большого кол-ва "сил", с пренебрежением малого блайнда и случаев равенства сил, и некой аппроксимацией смешанных стратегий чистыми - получено поиском "почти седловой " точки. Бог с ним: для $N=4$ не катит.
Как делится банк? Я полагал, что - у кого больше, тот и забирает все....
Для малых $N$ становится важным: бывает ли, что игроки получили равные комбинации? Как в этом случае делится банк? Если у меня АА - - повлияет ли это на вероятность появления АА (или АК) у противника?
Про Ваши рассуждения в стартовом посте: я их не понял. Видимо, для начала хорошо бы, действительно, в качестве упражнения, найти решение простенькой игры два на два в смешанных стратегиях. При отсутствии седловой точки (т.е., решения в чистых стратегиях), решение в смешанных приводит к забавной ситуации: при оптимальной смешанной стратегии первого, обе чистых стратегии второго дают В ТОЧНОСТИ одно и то же (и, аналогично, наоборот).
Про 8 стратегий: здравый смысл говорит, что стратегия 4,3 лучше чем 4,2.
Но что то из таблицы этого не видно, да? Как она составлялась? Как делился банк?

(Оффтоп)

А курсовую у меня товарищ писал - давно. Вроде бы, он решил задачу для маленькой колоды, а в дипломной - и для большой, но с одним кругом торговли - увы, в упор не помню....

[daniil_bj]

DeBill в сообщении #1178314 писал(а):

daniil_bj
Как делится банк? Я полагал, что - у кого больше, тот и забирает все....
Для малых $N$ становится важным: бывает ли, что игроки получили равные комбинации? Как в этом случае делится банк? Если у меня АА - - повлияет ли это на вероятность появления АА (или АК) у противника?

да, соперники могут получить одинаковые комбинации. делится пополам.
Влияет. Учтено в матрице.

Цитата:

Про Ваши рассуждения в стартовом посте: я их не понял. Видимо, для начала хорошо бы, действительно, в качестве упражнения, найти решение простенькой игры два на два в смешанных стратегиях.

2 на 2 не бывает смешанных или этот случай крайне тяжело найти через подбор обязательных ставок и стека.

Цитата:

При отсутствии седловой точки (т.е., решения в чистых стратегиях), решение в смешанных приводит к забавной ситуации: при оптимальной смешанной стратегии первого, обе чистых стратегии второго дают В ТОЧНОСТИ одно и то же (и, аналогично, наоборот).

Конечно, в том и суть смешивания - сделать бессмысленным попытки перекинуть веса на стратегиях оппонента.

Цитата:

Про 8 стратегий: здравый смысл говорит, что стратегия 4,3 лучше чем 4,2.
Но что то из таблицы этого не видно, да? Как она составлялась? Как делился банк?

Таблица составлена с учетом всех поправок на вероятности возникновения рук у игрока bb после получения игроком sb своей руки.
Банк делится в соответствии с перевесом в силе одной руки над другой, например АА при сравнении с АКs выигрывает в ~87% случаев против ~13%.

Почему 4,3 кажется лучше, чем 4,2?

По поводу непонятности поста, к сожалению, у меня талант не очень доходчиво объяснять.
Во 2м пункте я указал, что в смешанной стратегии решений 1, ставка (например смешиваем AA,AKs,AKo и AA,AKs) может участвовать только рука (в данном случае отличие в руке AKo), включение или выключение которой из списка рук стратегии 1 не влияет на выигрыш.
Подобрать случай, чтобы была в наличии рука, розыгрыш которой не вносит корректив в результат всей выбранной стратегии - невероятно сложно.

У меня наметился ответ на свой же вопрос, где ошибка в рассуждениях (а именно в пункте 2, что в смешанных равновесия для данной задачи быт не может).
Как только четко пойму, отпишусь.

(Оффтоп)

А нет контактов этого товарища? Есть вопросы именно по научной тематике.
У нас работа весьма сильно выходит за пределы обсуждаемого вопроса.

[DeBill]

daniil_bj
Про 2 на 2 - я не имел в в иду "модельный покер", я говорил про любую игру двух лиц с матрицей 2 на 2 (чет-нечет, орлянка, или - предлагали участники дискуссии) - чтобы прояснить вопрос о том, как выглядят смешанные стратегии, почему они выгоднее, и - где ошибка в вашем рассуждении.
Про деление банка: а, тогда мои выкладки не работают. И - тогда нада уточнить про силу рук. Сила - натуральное число в диапазоне $[1,N]$ ? Деление - пропорционально силе? Каковы вероятности "сил"? Как имение на руках "силы" $N$ повлияет на распределение вероятностей "сил" противника?

(Оффтоп)

Контактов нет: товарищ давно потерялся.... Боюсь, он забросил математику, и стал профессиональным игроком в покер: к тому все шло...

[daniil_bj]

DeBill

Да как выглядит смешанная стратегия я представляю

Выкладки могу дать, без проблем (сейчас нет информации под рукой), но чем это поможет?
В предложенной задаче с числами смешанной стратегии не будет вовсе, ибо между 0 и 1 найдется седловая точка.
Матрица моя рассчитана софтом, проверял ячейки вручную до публикации - все верно.

[atlakatl]

DeBill в сообщении #1178314 писал(а):

При отсутствии седловой точки (т.е., решения в чистых стратегиях), решение в смешанных приводит к забавной ситуации: при оптимальной смешанной стратегии первого, обе чистых стратегии второго дают В ТОЧНОСТИ одно и то же (и, аналогично, наоборот).

А где можно найти подтверждение этого феномена?
На простых примерах так обычно и получается.
А в сложных, неаналитических случаях этому приходится только верить, - ну и использовать для подбора лучшей смешанной стратегии.

[daniil_bj]

atlakatl в сообщении #1178508 писал(а):

DeBill в сообщении #1178314 писал(а):

При отсутствии седловой точки (т.е., решения в чистых стратегиях), решение в смешанных приводит к забавной ситуации: при оптимальной смешанной стратегии первого, обе чистых стратегии второго дают В ТОЧНОСТИ одно и то же (и, аналогично, наоборот).

А где можно найти подтверждение этого феномена?

В работе Нэша и компании.
В сложных случаях, когда смешивается несколько чистых стратегий стратегий, отклонение одного из участников уже приводит к снижению его выигрыша.

PS
По задаче так и не отписался Вам:
Будет гарантированно иметься седловая точка, поскольку мы не стеснены в выборе точного значения, больше которого мы всегда ставим, а меньше - пасуем.
Так же задача упрощается тем, что нет эффекта камень-ножницы-бумага, все значения строго ранжированы по вертикали силы.

[atlakatl]

daniil_bj
Вот на игре "камень-ножницы-бумага" этот феномен и показывается.
Стратегия понятна: выкидывать каждую фигуру с вероятностью $1/3$.
Так вот, если один из игроков играет так, то второй может не заморачиваться, а всегда выкидывать одну из фигур.
И каждый останется при своих.
-- 20.12.2016, 08:28 --

daniil_bj в сообщении #1178510 писал(а):

В работе Нэша и компании.

Ваша "ссылка" не ссылка. Так, общее пожелание.

[daniil_bj]

atlakatl

Вы из разных мест фразы взяли. Я говорил о эффекте КМБ, что в моей задаче он присутствует, а в вашей задаче с числом от 0 до 1 его нет.
Можно посчитать конкретное значение от 0 до 1, только зачем? Отношения к теме это не имеет.

Цитата:

Ваша "ссылка" не ссылка. Так, общее пожелание.

Вы спросили где можно найти подтверждение, а не дайте ссылку.

[popolznev]

daniil_bj в сообщении #1177983 писал(а):

Предположим, что равновесие Нэша находится в смешанных стратегиях.
(...)
Если отдельно рассмотреть ситуацию, когда игроком mb получена рука $AKo$ (...)
(...)
Таким образом мы приходим к выводу, что равновесия Нэша в смешанной стратегии для данной задачи так же быть не может.
(...)
Можете указать на ошибку в рассуждениях?

Ошибка вот здесь: «Если отдельно рассмотреть ситуацию, когда игроком mb получена рука $AKo$». Получение руки - это же случайное событие, как я понимаю? Тогда нельзя смотреть отдельные исходы, а надо вычислять мат. ожидание.

В равновесии Нэша оптимальная стратегия не является наилучшим откликом на любые действия оппонента.

[daniil_bj]

popolznev

А мы и рассматриваем ситуацию, которая случается с некоторой вероятностью.
И показано как раз то, что рука может входить в стратегию 1 (ставка) не с коэффициентом 1 или 0 только в случае, если и решение 1 (ставка) и решение 2 (сброс) дают одинаковый результат.

Вы верно сказали, что в итоге нужно считать МО общее и стратегия не является наилучшим откликом, однако в данном случае имеется ввиду сам факт возможности нахождения равновесия Нэша в смешанных стратегиях и пример с "положительностью" или "отрицательностью" решения 1 относительно 2 для отдельной руки корректен.

PS
Кажется, я уже понял, в чем ошибка.
Как будут цифры и четкие выкладки - отпишусь.

[popolznev]

daniil_bj, я не всё понимаю из того, что вы пишете, потому что я не в материале: вот эти руки, ставки - я их в первый раз в жизни вижу. Я пытаюсь понять это дело только исходя из теоретико-игрового описания, а оно у вас не до конца внятное. Давайте попытаемся разобраться всё же.

daniil_bj в сообщении #1179357 писал(а):

А мы и рассматриваем ситуацию, которая случается с некоторой вероятностью.

Если мы уже задали игру матрицей выигрышей, то там никаких "ситуаций с некоторой вероятностью" не бывает. Та матрица большая, которая приведена в конце стартового поста - это же и есть матрица игры (т.е. выигрышей первого игрока)? Вот давайте в её терминах всё и попробуем сформулировать.

daniil_bj в сообщении #1179357 писал(а):

И показано как раз то, что рука может входить в стратегию 1 (ставка)

Разве "ставка" - это стратегия? Стратегии (1-го игрока) в терминах матричнго задания игры - это строки. Если "ставка" - это стратегия, то какой строке она соответствует? Из первоначального описания я понял, что "ставка" - это возможный ход, но стратегия должна включать в себя описание ходов во всех возможных ситуациях.

daniil_bj в сообщении #1179357 писал(а):

в данном случае имеется ввиду сам факт возможности нахождения равновесия Нэша в смешанных стратегиях и пример с "положительностью" или "отрицательностью" решения 1 относительно 2 для отдельной руки корректен

Да, разумеется, мы обсуждаем именно равновесие Нэша. Но я вот не понял, что такое "положительность 1 относительно 2".

[daniil_bj]

popolznev в сообщении #1179359 писал(а):

daniil_bj, я не всё понимаю из того, что вы пишете, потому что я не в материале: вот эти руки, ставки - я их в первый раз в жизни вижу. Я пытаюсь понять это дело только исходя из теоретико-игрового описания, а оно у вас не до конца внятное. Давайте попытаемся разобраться всё же.

Давайте.

Цитата:

daniil_bj в сообщении #1179357 писал(а):

А мы и рассматриваем ситуацию, которая случается с некоторой вероятностью.

Если мы уже задали игру матрицей выигрышей, то там никаких "ситуаций с некоторой вероятностью" не бывает. Та матрица большая, которая приведена в конце стартового поста - это же и есть матрица игры (т.е. выигрышей первого игрока)? Вот давайте в её терминах всё и попробуем сформулировать.

Руку AKo игрок sb получает в 12/28 случаев.
О них я и говорю, как о событии с некоторой вероятностью.

(Оффтоп)

Игрок bb - в зависимости от стратегии sb, поскольку до него ход доходит только если sb изберет стратегию 1 (ставка).

В матрице, как указано, приведены выигрыши в чистых стратегиях.

В пункте 2 речь идет только о смешанных.

Цитата:

daniil_bj в сообщении #1179357 писал(а):

И показано как раз то, что рука может входить в стратегию 1 (ставка)

Разве "ставка" - это стратегия? Стратегии (1-го игрока) в терминах матричнго задания игры - это строки. Если "ставка" - это стратегия, то какой строке она соответствует? Из первоначального описания я понял, что "ставка" - это возможный ход, но стратегия должна включать в себя описание ходов во всех возможных ситуациях.

У игрока может быть 2 действия, 1 (ставка) или 2 (сброс).
Общая стратегия состоит из перечисления всех действий во всех информационных множествах.
Если заменить слово стратегия на слово действие - все становится на свои места?
Действие - в конкретной ситуации, стратегия - все описанные действия для всех ситуаций.

Цитата:

daniil_bj в сообщении #1179357 писал(а):

в данном случае имеется ввиду сам факт возможности нахождения равновесия Нэша в смешанных стратегиях и пример с "положительностью" или "отрицательностью" решения 1 относительно 2 для отдельной руки корректен

Да, разумеется, мы обсуждаем именно равновесие Нэша. Но я вот не понял, что такое "положительность 1 относительно 2".

[/quote]

Какое решение для отдельной взятой ситуации (в примере AKo) более выгодно 1 или 2.