точки самопересечения параметрически заданных функций

[arseniiv]

iifat в сообщении #1174764 писал(а):

как параметрически заданную кривую (которую, кстати, в рамках задачи никто не называл функцией)

Надо признать, что тема называется именно неправильно — «функций», а не «кривых», и дальше в стартовом посте

tata00tata в сообщении #1174578 писал(а):

функция имеет точки самопересечения

[iifat]

arseniiv в сообщении #1175201 писал(а):

Надо признать, что тема называется именно неправильно

Ну, ежели надо — признаЮ Действительно, кривую обозвали функцией. Недочитал.

[arseniiv]

Ну, не вам, а вообще признать. Так что корни у цилиндрических поверхностей глубже, чем казались…

[Markiyan Hirnyk]

$ \left\{ a=- \left( 1/2\,\sqrt {7}+1/2\,\sqrt {3} \right) ^{3}+5/2\, \sqrt {7}+5/2\,\sqrt {3},b=1/2\,\sqrt {7}+1/2\,\sqrt {3} \right\} $
и
$ \left\{ a=- \left( -1/2\,\sqrt {7}+1/2\,\sqrt {3} \right) ^{3}-5/2\, \sqrt {7}+5/2\,\sqrt {3},b=-1/2\,\sqrt {7}+1/2\,\sqrt {3} \right\} $
Подтверждается графиком. Кто не верит, пусть проверит.

[tata00tata]

что-то мне показалось, что я со всем разобралась, а оказалось нет. Эту задачу я нашла в интернете, она с решением. Там написано "...функция имеет локальный экстремум в точке, соответствующей значению параметра $t=-\sqrt{2}$, т.е. в точке $(-\frac{2\sqrt{2}}{3};4\sqrt{2})$..." это понятно, т.к. в этой точке производная равна $0$, но там написано, что это точка максимума, а у меня получается минимума, т.к. производная $\frac{dy}{dx}=\frac{3(t^2-2)(1+t^2)^2}{2(1-t^2)}$меняет знак с минуса на плюс, наверное я что-то не так понимаю.

и 2 вопрос, видела, что в другом примере находят $t$ при которых $x''_t=0;y''_t=0$ не поняла, что это даёт, понятно, что это не точки перегиба, т.к. вторая производная находится по формуле.

Спасибо.

Markiyan Hirnyk
а у меня получились $a=\pm\sqrt\frac{5+\sqrt{21}}{2}$ и $a=\pm\sqrt\frac{5-\sqrt{21}}{2}$
и соответственно обратные числа для $b$ и правильно ли я поняла из переписки, что мы находим тем самым не точки самопересечения функции $y(x)$, а точки самопересечения кривой, заданной параметрически.
Спасибо.

[iifat]

tata00tata в сообщении #1176780 писал(а):

мы находим тем самым не точки самопересечения функции $y(x)$

Разумеется, мы находим не точки самопересечения функции. У неё их нет. Как и, по-моему, точек вообще (есть, к примеру, значение функции в точке, но это другое). Точки бывают на кривой — она, собственно, вся из них состоит.

-- 14.12.2016, 07:27 --

tata00tata в сообщении #1176780 писал(а):

меняет знак с минуса на плюс

Точно? Выписанная вами производная — как раз таки с плюса на минус.

[tata00tata]

iifat в сообщении #1176782 писал(а):

Точно? Выписанная вами производная — как раз таки с плюса на минус.

но ведь если подставить $t=-2$ будет минус у производной.

-- 14.12.2016, 01:42 --

а правильно ли я понимаю, что самопересечение кривой отражается на её проекции,т.е. функции $y(x)$ мы тоже видим самопресечение или нет?

[iifat]

iifat в сообщении #1176782 писал(а):

с плюса на минус

Да, соврал. Действительно, с минуса на плюс, что означает минимум.
Ну, остаются два варианта: либо вы где-то ошиблись, беря производную, либо автор решения.

tata00tata в сообщении #1176786 писал(а):

самопересечение кривой отражается на её проекции

Не стоит повторять эту ерунду. $y(x)$ — это не проекция, а просто другой способ задания той же самой кривой.

[tata00tata]

Скажите пожалуйста, а экстремумы и промежутки выпуклости вогнутости здесь выглядят на графике как у обычной функции, а то у меня минимум на графике не выглядит как минимум. А из вольфрама здесь можно вставить график?

[Aritaborian]

tata00tata в сообщении #1176950 писал(а):

А из вольфрама здесь можно вставить график?

Как и любую картинку. Экспортируйте из Mathematica (или что ещё вы там называете «вольфрамом», да ещё с маленькой буквы ) в виде картинки, заливаете на хостинг, выкладываете сюда.

[tata00tata]

т.к. не знаю, что значит залить на хостинг, в инете почитала, не совсем поняла как это делается (если кто-нибудь кинет ссылку с разъяснением как добавить картинку на этот сайт буду благодарна) а в правилах нашла, что ссылки разрешены, вот ссылка на график https://www.wolframalpha.com/input/?i=p ... +plot++x(t)%3D%7B2t%7D%2F%7B1%2Bt%5E2%7D,+y(t)%3Dt%5E3-6t
так вот у меня при $t=-\sqrt{2}$ в точке $(-\frac{2\sqrt{2}}{3};4\sqrt{2})$, $-\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx-0,9;4\sqrt{2}\approx5,7$минимум, а на графике он выглядит как максимум и в авторском решении написано, что максимум...

-- 15.12.2016, 01:11 --

ссылка как-то странно вставилась. Что я не так делаю???

[marij]

Но ведь система является симметрической и легко решается , например вот одно из 4 решений $( a=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}; b=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}) $, если не ошибаюсь.

[iifat]

tata00tata в сообщении #1176950 писал(а):

минимум на графике не выглядит как минимум

Да, Вольфрам рисует максимум. Картинку, к стыду своему, тоже выложить не умею.
Рискну предположить, что вы неверно взяли производную. Пишите подробно. Поглядим.

[wrest]

tata00tata в сообщении #1176780 писал(а):

а у меня получается минимума, т.к. производная $\frac{dy}{dx}=\frac{3(t^2-2)(1+t^2)^2}{2(1-t^2)}$меняет знак с минуса на плюс, наверное я что-то не так понимаю.

Коль скоро вам заданы параметрические уравнения кривой, для нахождения минимума и максимума вам не надо брать производную $y'(x)$, если под минимум и максимумом вы понимаете минимальное (максимальное) значение $y$. Само значение экстремума (т.е. чему равен максимальный или минимальный игрек) не зависит от $x$, в том смысле, что какое бы уравнение не определяло $x(t)$, если икс вообще существует для нужного параметра $t$, минимум или максимум игрека будет равен минимуму или максимуму $y(t)$, соответственно производную от игрека можно брать по параметру, получается $y'(t)=3t^2-6$, имеем два корня $t_1=-\sqrt 2;t_2=\sqrt 2$, вторая производная равна $y''(t)=6t$ и значит в $t_1$ имеем максимум, а в $t_2$ минимум (максимум, напомню, там, где вторая производная меньше нуля, а минимум там где больше).
Найденные $t_1$ и $t_2$ подставляем в уравнения $x(t)$ и $y(t)$ и таким образом находим координаты локальных экстремумов по игрекам (ординатам).

Аналогично можно найти локальные экстремумы по иксам (абсциссам).
По ним (иксам), кстати, найденные экстремумы будут в вашей задаче глобальными.

[iifat]

wrest в сообщении #1177095 писал(а):

Коль скоро вам заданы параметрические уравнения кривой, для нахождения минимума и максимума вам не надо брать производную $y'(x)$

Хм. Попробую попозже написать контрпример, но навскидку: $dx$ может невзначай обратиться в нуль в точке экстремума $y(t)$. И тогда $\frac{dy}{dx}$ может вас удивить.