точки самопересечения параметрически заданных функций

[tata00tata]

Здравствуйте. Возник маленький вопрос. Точно знаю, что функция имеет точки самопересечения$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)=\frac{2t}{1+t^2}\\ y(t)=t^3-6t\\ \end{array} \right.$
ищу их. Введу обозначения $t_1=a\;t_2=b$
$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{2a}{1+a^2}=\frac{2b}{1+b^2} \\ a^3-6a=b^3-6b \\ \end{array} \right.$
$2a(1+b^2)=2b(1+a^2)\\a+ab^2=b+ba^2\\ab^2-(a^2+1)b+a=0\\b_1=a\\b_2=\frac{1}{a}\\a^3-6a=\frac{1}{a^3}-\frac{6}{a}\\a^6-6a^4=1-6a^2\\a^6-6a^4+6a^2-1=0\\a^6-1-6a^2(a^2-1)=0\\(a-1)(a^5+a^4+a^3+a^2+1-6a^3-6a^2)=0\\a^5+a^4-5a^3-5a^2+1=0$
корень 1 понятен, он не подходит и тут два вопроса, как дорешать уравнение? Корни-то не целые.
и ещё изначально подбором видно,что $a=1\; a=-1$ но $-1$ у меня при решении куда-то потерялся, не пойму на каком этапе. Спасибо.

[Someone]

tata00tata в сообщении #1174578 писал(а):

но $-1$ у меня при решении куда-то потерялся, не пойму на каком этапе

Очевидно, при делении $a^6-1$ на $a-1$.

[iifat]

Рано подставили во второе уравнение, имхо. Стоило покрутить слегка, помня, что нас интересует $a\neq b$

-- 06.12.2016, 23:09 --

Someone в сообщении #1174586 писал(а):

Очевидно, при делении $a^6-1$ на $a-1$

Мне вот очевидно, что теряется при таком делении корень $a=1$, не?
Собственно, и хай бы себе терялись, $a=\pm1$ нам всё равно неинтересны.

[SVD-d]

Если глядеть втупую, проще всего было бы заменить $a^2$ на что-нибудь не квадратное, тогда такое кубическое уравнение решается за две минуты. Главное, корни из-за квадрата не потерять.

Но вообще, стоит в самом деле покрутить уравнения перед подстановкой.

[wrest]

tata00tata в сообщении #1174578 писал(а):

видно,что $a=1\; a=-1$ но $-1$ у меня при решении куда-то потерялся, не пойму на каком этапе.

Вот это неверно: $(a-1)(a^5+a^4+a^3+a^2+1-6a^3-6a^2)=0$, во вторых скобках потеряна первая степень $a$. Вы умеете делить многочлены столбиком? Надежный способ ничего не потерять :)

tata00tata в сообщении #1174578 писал(а):

у меня при решении куда-то потерялся, не пойму на каком этапе.

Вот когда найдёте, вынесите $(a+1)$ за скобку из второй скобки, в скобках останется биквадратное уравнение (получится $(a+1)(a-1)(ka^4+la^2+m)$), которое и даст вам решение -- две точки самопересечения. И да, они не очень-то целые :)

Чтобы меньше возиться, можно делить не последовательно на $a-1$ затем на $a+1$, а сразу поделить $a^6-6a^4+6a^2-1$ на $a^2-1$

[tata00tata]

Да да всё поняла, надо же такая дурацкая ошибка. Спасибо огромное.

[EXE]

tata00tata, геометрически в пространстве переменных x,y,t здесь нет самопересечения. Это кривая, она получается как пересечение двух цилиндрических поверхностей. Мы говорим о точках самопересечения проекции этой кривой на плоскость XOY и называем её функцией.

[tata00tata]

EXE в сообщении #1174724 писал(а):

как пересечение двух цилиндрических поверхностей

но ведь цилиндрические поверхности - это поверхности 2 порядка, а у меня $y(t^3)$

[iifat]

EXE в сообщении #1174724 писал(а):

в пространстве переменных x,y,t здесь нет самопересечения

Вы это, стесняюсь спросить, к чему? Ну да, если рассматривать трёхмерное пространство, то самопересечений нет. А если — совершенно законно! — как параметрически заданную кривую (которую, кстати, в рамках задачи никто не называл функцией), то есть.

tata00tata в сообщении #1174751 писал(а):

цилиндрические поверхности - это поверхности 2 порядка

В принципе, цилиндрическая поверхность — это поверхность, заметаемая некой прямой, параллельно перемещаемой вдоль некой кривой (возможно, плоской кривой, не помню). Так что да, цилиндрические. Вот только чем это поможет вам в решении задачи — ума не приложу.

[EXE]

iifat в сообщении #1174764 писал(а):

Вы это, стесняюсь спросить, к чему? Ну да, если рассматривать трёхмерное пространство, то самопересечений нет. А если — совершенно законно! — как параметрически заданную кривую (которую, кстати, в рамках задачи никто не называл функцией), то есть.

Не стесняйтесь. Чтобы человек понимал, откуда берутся эти плоские кривые. Заодно получил бы представление о цилиндрических поверхностях, как видим.
И в сообщении речь идёт о функции. Читайте, кстати.

[tata00tata]

iifat
для решения-то не надо, но мне было интересно узнать смысл происходящего. Спасибо огромное помогающим!!!

[Aritaborian]

tata00tata, я бы лучше прислушался к мнению уважаемого iifat. Зачем вам какие-то цилиндрические поверхности, чтобы понять параметрическое задание прямой, окружности, эллипса в плоскости $Oxy$?

[EXE]

Виноват, осознал, полностью поддерживаю уважаемого и уважающего...
tata00tata, короче, меньше знаешь больше уважаешь – крепче спишь.

[Aritaborian]

EXE, вместо неуместного передёргивания моих слов я бы лучше услышал,

Aritaborian в сообщении #1174839 писал(а):

Зачем вам какие-то цилиндрические поверхности, чтобы понять параметрическое задание прямой, окружности, эллипса в плоскости $Oxy$?

[Toucan]

EXE в сообщении #1174841 писал(а):

Виноват, осознал, полностью поддерживаю уважаемого и уважающего...
tata00tata, короче, меньше знаешь больше уважаешь – крепче спишь.

EXE, замечание за бессодержательное сообщение.