точки самопересечения параметрически заданных функций

[wrest]

iifat в сообщении #1177100 писал(а):

Хм. Попробую попозже написать контрпример,

Наверняка у вас получится.

iifat в сообщении #1177100 писал(а):

И тогда $\frac{dy}{dx}$ может вас удивить.

Да тут далеко ходить не надо, можно взять $x(t)=y(t)=t^3-6t$ и тогда никаких локальных максимумов по игрекам не будет, так что надо добавить какие-то условия, которые надо строго сформулировать и т.п. Но согласитесь, брать производную просто по игреку от параметра гораздо легче и результат в этой задаче налицо.

Для общего случая я не прав.

[DeBill]

tata00tata в сообщении #1176780 писал(а):

у меня получается минимума, т.к. производная $\frac{dy}{dx}=\frac{3(t^2-2)(1+t^2)^2}{2(1-t^2)}$меняет знак с минуса на плюс, наверное я что-то не так понимаю.

Школьное правило "меняет с минуса на плюс - значит, минимум" - правильное. Но оно - урезанная формулировка: в полной, надо продолжить "при переходе аргумента через нуль производной". А аргументом то является $x$, а не $t$ ! Ваш "нуль производной" случился при $t =t_0 = -\sqrt{2}$. Но когда $t$ ползет через $t_0$ слева направо, соответствующая точка $x$ ползет налево!
Так что в Ваших выкладках все правильно, - кроме заключительного вывода: это и вправду - максимум.

[iifat]

Спасибо Aritaborian, вот он, график:

[tata00tata]

Спасибо всем. Максимум минимум можно проверить по знаку второй производной, а выпуклость вогнутость и точки перегиба как? По знаку третьей?