Иррациональные числа и неоднозначность определений

[ZVS]

Что,пошёл народ старые конспекты за первый курс читать?
Вот периодически дискуссия вихляет из стороны в сторону.Потому как из колеи выбираться сложно.А вопрос ведь к общепринятому потоку рассуждений для математики, относится лишь с одной стороны.А с другой,
он относится к фундаментальному основанию всего здания аксиом.А именно,все они должны быть введены для всех элементов одновременно,сразу.
Еще точнее, все элементы и их свойства рассматриваться должны, как всегда(уже) существующие.Это требование явно не прописано ни в одном учебнике,но упоминается в том или ином виде, как вневременность идеальных обьектов математики, как очевидный факт.Времени в математике нет!
Но тогда следует недопустимость любых изменений,переходов требующих последовательных действий во времени!Мы можем только наблюдать.И переход от определения одного элемента к множеству, корректен только если где то прописано, что множество уже существует.Что собственно и пытались сделать, максимально обобщив теоретико-множественные операции и спускаясь от совершенно абстрактных понятий, к конкретным обьектам и их свойствам.
Так можно записать определение сечения, как элемента уже существующего множества сечений?Если да, вопрос снимается.

[незваный гость]

ZVS писал(а):

Что,пошёл народ старые конспекты за первый курс читать?

Нет. Все, кроме Вас, понимают, и понимают одинаково (с точностью до эквивалентности) определение сечений.

А вот Вас понять труднёхонько. Если Вы попробуете записать Ваши рассуждения формально, используя аппарат матлогики и теории множеств, можно будет попытаться разобраться. Разбирать же на пальцах формальные построения — последнее дело.

Согласно Фихтенгльцу сечение $A|B$ это упорядоченная пара $(A,B)$, где $A$, $B$ непустые подмножества $\mathbb{Q}$, такие что $ A \cup B = \mathbb{Q}$ и $\forall s \in A \, \forall t \in B \, s < t$.

Фихтенгольц далее пишет, что возможно три ситуации:
1) $\sup A \in A$
2) $\inf B \in B$
3) $\sup A \not \in A \wedge \inf B \not \in B$

Сечения третьего типа Ф. называет иррацональными числами.

Пример:
1) (исправлено) $\sqrt2 \ {{\small{def}}\above= }\ \{x \in \mathbb{Q}: x^2 < 2 \lor x <0 \}|\{x \in \mathbb{Q}: x^2 >= 2 \land x > 0 \}$ — определение $\sqrt2$;


2) (исправлено) $\sqrt3 \ {{\small{def}}\above= }\ \{x \in \mathbb{Q}: x^2 < 3 \lor x < 0 \}|\{x \in \mathbb{Q}: x^2 >= 3 \land x > 0 \}$ — определение $\sqrt3$.


Объяснените, пожалуйста, на этом примере, о чём Вы говорите

Цитата:

Вот есть некоторое множество, которое разбиваем на два по некоторому признаку,и соответственно имеем две части множества и границу между ними.В тот же момент времени разбиваем еще раз, это же множество на две другие части по другому признаку и получаем что?Вот я вижу, что получается три множества и две границы между ними, на рассматриваемом нами первоначально множестве..

[Brukvalub]

ZVS писал(а):

Что,пошёл народ старые конспекты за первый курс читать?

Нет. Я, например, просто бросил эту дискуссию. Уж очень она напоминает разговор с Yarkinым. Как и там - мы говорим одно, а в ответ Вы просто повторяете свои первоначальные аргументы, не пытаясь ничего из сказанного нами понять. Я не вижу смысла продолжать такого рода споры.

[MaximKat]

незваный гость писал(а):

$\sqrt2 \ {{\small{def}}\above= }\ \{x \in \mathbb{Q}: x^2 < 2 \}|\{x \in \mathbb{Q}: x^2 >= 2 \}$
$\sqrt3 \ {{\small{def}}\above= }\ \{x \in \mathbb{Q}: x^2 < 3 \}|\{x \in \mathbb{Q}: x^2 >= 3 \}$

тот же глюк, что у меня был правильно:
$\{q\in\mathbb{Q}:q^2<2 \lor q < 0\}$, $\{q\in\mathbb{Q}:q^2>2\land q>0\}$
$\{q\in\mathbb{Q}:q^2<3\lor q<0\}$, $\{q\in\mathbb{Q}:q^2>3\land q>0\}$

Добавлено спустя 4 минуты 26 секунд:

ZVS писал(а):

Но тогда следует недопустимость любых изменений,переходов требующих последовательных действий во времени!Мы можем только наблюдать.И переход от определения одного элемента к множеству, корректен только если где то прописано, что множество уже существует.

что значит уже существует или еще не существует? множество - это набор элементов, обладающих каким-то свойством. вот мы его и строим, путем перечисления всех этих элементов, а именно всевозможных пар элементов $2^\mathbb{Q}$, которые обладают определенным свойством. т.е. множество всех сечений - $D=\{(A,B)|A,B\in 2^\mathbb{Q}, A\cup B=\mathbb{Q},A\ne\emptyset,B\ne\emptyset,\forall s\in A, t\in B\; s<t\}$

[незваный гость]

MaximKat писал(а):

тот же глюк, что у меня был правильно:

Виноват-с. Не проснулся, видимо.

Добавлено спустя 4 минуты 22 секунды:

MaximKat писал(а):

оторые обладают определенным свойством. т.е. множество всех сечений -

Отвечу той же «любезностью»: в определении пропущено требование непустоты множеств.

В общем, полезно пояснить (для ZVS, не для Вас), что $D \not = \mathbb{R}$, поскольку некоторые «числа» в нём встречаются дважды.

[MaximKat]

незваный гость писал(а):

Отвечу той же «любезностью»

спасибо

[ZVS]

Ну что ж,многим, кто до сих пор не понял о чем речь, наверное уже не помочь.Они свое мнение составили и могут далее не утруждать себя ответами в топике.Немногим,кому интересен ход рассуждений, но тоже непонятно к сожалению, стоит еще раз почитать мои труды,шутка.
Ладно, тут в который раз постят определение сечения и спрашивают, что же не так в нем для меня.Демократично отвечу.То же самое.Неоднозначность.
Ну смотрите сами.
По определению, сечение задано для трех случаев принадлежности экстремумов, и каждый несовместим с другим! Налицо необходимость выбора, то есть пошагового перехода в каждом конкретном случае от одного вида к другому.Что возможно только в последовательности ,во времени. Что бы однозначно задать иррациональное число необходимо выбрать вариант, когда максимум и минимум не принадлежат множеству рац.чисел.
Итак, мы имеем общее определение сечения, которое в КАЖДОМ случае переопределяется для рационального или иррационального числа.
Ведь не каждое сечение определяет иррациональное число.А определенного вида!Но ,внимание,определение состоит из двух шагов!Первый выбрать сечение.Второй:выбрать вид сечения.Это одновременно не выполняется.
Выполняется во времени.Сначало одно ,потом второе.Что приводит к неоднозначности,при рассмотрении как принято, одновременно для всех элементов множества.
Для примера,можно написать программку, создающую натуральные числа на компе.Просто.На основе определения единицы и операции суммирования.Также вполне просто и для рациональных чисел.По определению.Будет выдана некоторая последовательность натуральных или рациональных чисел.Как угодно длинная.А вот для иррациональных чисел, что то не вижу подобного способа.По определению через сечения.Могут возразить, что и через другие определения не получится.Ну, об этом потом.Если здесь определимся.
И по поводу формальных рассуждений.Не дождетесь!Интересное требование,обсуждать определения, не выходя за рамки определений.
По форме правильно,по существу издевательство.(С)
Значить, если кому опять всё непонятно,я умоляю.Не надо об этом сообщать!Перечитывайте тему в течении месяца,двух.Пробьет обязательно..

[незваный гость]

ZVS писал(а):

Что возможно только в последовательности ,во времени. Что бы однозначно задать иррациональное число необходимо выбрать вариант, когда максимум и минимум не принадлежат множеству рац.чисел.

1) Времени в математике нет. Когда говорят, что «$x$ является одновременно элементом $A$ и $B$», имеется (формально) в виду конъюнкция (логическое И): $x \in A \land x \in B$. Жаргон-с.

2) Иррациональных чисел пока нет. Вот построим сечения, и назовём некоторые из них иррациональными числами. А пока — нету их.

ZVS писал(а):

Но ,внимание,определение состоит из двух шагов!Первый выбрать сечение.Второй:выбрать вид сечения.

Неверно. Вид сечения не выбирается. Коль скоро мы имеем сечение, так сразу оно одного из трёх типов.

ZVS писал(а):

Как угодно длинная.А вот для иррациональных чисел, что то не вижу подобного способа.

Ничего удивительного. Вы «открыли» для себя разницу между счётными и несчётными множествами. Но она не имеет никакого отношения к неоднозначности определения.

ZVS писал(а):

И по поводу формальных рассуждений. ‹…› Интересное требование,обсуждать определения, не выходя за рамки определений.

Вся математика на этом построена. Вы, видимо, математикой заниматься не готовы.

На прощанье вот Вам определение вещественных чисел через сечения Дедекинда в форме Профессора Снэйпа:

$$\mathbb{R} = \{ A \subset \mathbb{Q}: A \not = \mathbb{Q} \, \land \, A \not = \emptyset \, \land \, (\forall s \in A, \forall t \in \mathbb{Q} \setminus A: s < t) \, \land \, (\forall s \in A \, \exists t \in A: s < t) \}$$

[MaximKat]

мы не "выбираем вид сечения"
сечение уже есть, мы определяем его вид - это да, но оно при этом никак не меняется

[AD]

ZVS писал(а):

Но ,внимание,определение состоит из двух шагов!Первый выбрать сечение.Второй:выбрать вид сечения.Это одновременно не выполняется.

Чушь полнейшая. Шаг один - разбиваем $\mathbb{Q}$ на два множества.

ZVS писал(а):

По определению, сечение задано для трех случаев принадлежности экстремумов

Покажите, где вы нашли такое определение. Ссылку дайте.

ZVS писал(а):

И по поводу формальных рассуждений.Не дождетесь!Интересное требование,обсуждать определения, не выходя за рамки определений.

Чушь полнейшая. Обсуждаем корректность определения. Все предыдущие определения считаем корректными. Вот за их рамки и не надо выходить. А то, что не формально - в другом разделе обсуждается.

ZVS писал(а):

Значить, если кому опять всё непонятно,я умоляю.Не надо об этом сообщать!

Да понятно всё с вами ...

[нг]

Сказанного достаточно.

Тема закрывается на перечитывание (ZVSом).