Иррациональные числа и неоднозначность определений

[ZVS]

Доброе время суток.
Всегда думал,что существование в мат.анализе всех определенных как «каждый,всякий ,любой» элементов множеств,чисел(например,для каждого q>0..) или т.п. однозначно трактует их как совокупность всех удовлетворяющих неким требованиям элементов одновременно?!
Вот скажем, определение однозначной функции: переменная Y называется функцией от переменной x в области её изменения X,если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y из Y.
То есть каждое,любое, всякое значение x1,x2 взятое для простого примера дважды, определяет два значения функции y1 и y2.Причем существование одного из них никак не влияет на факт существавания другого.Они всегда существуют одновременно, как и все подобно определяемые сущности в мат.анализе.Но есть однако, одно определение,в котором однозначность смысла терминов « каждый, любой, всякий» потеряно.А именно, определение сечения Дедекинда!
Ведь по определению на множестве рациональных чисел существует только одно сечение:
1.Каждое рациональное число попадает в одно, и только в одно из множеств A или A’.
2.Каждое число a множества A меньше каждого числа a’множества A’.
Тогда,что бы сказать, что всякое сечение определяет некое иррациональное число, стоит вспомнить, что может существовать только одно такое число, иначе необходимо рассмотреть два сечения на одном множестве одновременно,что невозможно по определению.Или они существуют последовательно, по одному?Ну это просто смешно..

[Someone]

ZVS писал(а):

Ведь по определению на множестве рациональных чисел существует только одно сечение

Вы не могли бы точно сформулировать определение сечения, чтобы мы могли увидеть, почему существует только одно сечение?

[AD]

ZVS писал(а):

Вот скажем, определение однозначной функции: переменная Y называется функцией от переменной x в области её изменения X,если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y из Y.

Если это - определение, то я - папа римский.

[ZVS]

Someone писал(а):

Вы не могли бы точно сформулировать определение сечения, чтобы мы могли увидеть, почему существует только одно сечение?

О,извините.Я собственно думал, что приведенных цитат,а именно см.1.и 2. начального поста, вполне достаточно.Сечение-это разбиение множества всех рациональных чисел на два непустых множества A и A' по правилу п.п 1 и 2. Множество A называется нижним классом, а множество A' верхним классом.
Еще здесь немного: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0% ... 0%B8%D0%B5

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

AD писал(а):

ZVS писал(а):

Вот скажем, определение однозначной функции: переменная Y называется функцией от переменной x в области её изменения X,если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y из Y.

Если это - определение, то я - папа римский.

Гм,то что Вы не Фихтенгольц это точно. Специально взял простую формулировку классического универовского курса.Пишите еще..

[Коровьев]

Наконец-то, через 150 лет, "Дедекиндово сечение" стало смешить. /Смеясь, мы расстаёмся с прошлым. То бишь с сечением./

Цитата:

Это - известная конструкция, получившая впоследствии имя "дедекиндова сечения " и вот как определяет ее сам автор:

Если теперь дано какое-либо подразделение системы R на два класса A1, A2, обладающее только тем характерным свойством, что каждое число a1 из A1 меньше каждого числа a2 из A2, то для краткости мы будем называть такое подразделение сечением , и будем обозначать его через (A1, A2). Мы можем тогда сказать, что каждое число a [составляя общий член A1, A2] производит одно или, собственно, два сечения [и в A1, и в A2], на которые мы, однако, не будем смотреть как на существенно различные; это сечение имеет кроме того то свойство, что либо между числами первого класса есть наибольшее, либо между числами второго класса существует наименьшее

p.s.
Ссылки нет. Цитата из статьи в компе.

[Brukvalub]

ZVS писал(а):

иначе необходимо рассмотреть два сечения на одном множестве одновременно,что невозможно по определению

А где в определении сечения есть запрет на одновременное рассмотрение нескольких сечений одного множества? Это не более, чем плод Ваших фантазий.

[AD]

ZVS писал(а):

Гм,то что Вы не Фихтенгольц это точно.

Еще раз. То, что вы привели - это не определение понятия "функция", это размахивание руками и несвязное мычание. Если не верите - попробуйте определить все встречающиеся в вашем определении понятия: переменная, область изменения, правило, закон, значение, ставиться в соответствие.

[незваный гость]

AD
Вы будете долго смеяться, но именно так определяет функцию известный трёхтомник Фихтенгольца (т. 1, §1.45, с. 95) Так что, заявление ZVS

ZVS писал(а):

Гм,то что Вы не Фихтенгольц это точно.

имеет под собой определённые основания.

Впрочем, Вы не Ферма, не Коши и не д'Аламбер. Хотя и понимаете многое из того, что они сделали.

ZVS — понимание строгости в математике за последние 100 лет заметно изменилось. К лучшему или нет — не скажу, но многие вещи стали более формальны. У Фихтенгольца совершенно неформальное определение функции, достаточно неформальное определение числа. Что поделаешь… Хотите формальнее — возьмите хотя бы Рудина. Зато читается Ф. взахлёб. Помню удовольствие до сих пор. Но на университетский курс сегодня не катит.

[ZVS]

Brukvalub писал(а):

ZVS писал(а):

иначе необходимо рассмотреть два сечения на одном множестве одновременно,что невозможно по определению

А где в определении сечения есть запрет на одновременное рассмотрение нескольких сечений одного множества? Это не более, чем плод Ваших фантазий.

Вот и давайте определим что фантазии а что нет.
Приведена формулировка для сечений:
Каждое рациональное число попадает в одно, и только в одно из множеств A или A’.
Вы считаете, что каждое сечение может рассматриваться, как будто других нет? Только тогда будет соответствие условию.И в тоже время они есть,так?

AD писал(а):

Еще раз. То, что вы привели - это не определение понятия "функция", это размахивание руками и несвязное мычание. Если не верите - попробуйте определить все встречающиеся в вашем определении понятия: переменная, область изменения, правило, закон, значение, ставиться в соответствие.

Вот упорный.
Г.М Фихтенгольц "Основы мат.анализа" гл. 2-17 Функции одной переменной.
P.S.Ну вот теперь можете доказать, как старик жестоко ошибался..

[незваный гость]

Он не ошибался. Он определял неформально, что не одно и тоже. И чем раньше Вы это поймёте, тем лучше для Вас.

Я знаю только одно определение функции: $f: X \to Y \Leftrightarrow$ по определению $(f \subset X \times Y) \wedge (\forall x \in X \, \exists ! y \in Y : (x, y) \in f)$. При этом $X$ называется областью определения, а $Y$ — областью значений функции.

Добавлено спустя 5 минут 18 секунд:

ZVS писал(а):

Г.М Фихтенгольц "Основы мат.анализа" гл. 2-17 Функции одной переменной.

А основы — это основы и есть. Это вовсе не университетский курс. Может быть, подходят для тех.вузов, может — уже нет. В старших классах ФМШ использовались…

[Echo-Off]

Таки я не понимаю, в чём проблемы. Для каждого фиксированного сечения $\mathbb{Q}$ каждое рациональное число попадает только в один класс - в верхний или в нижний. Тем не менее, сечений существует несколько (а именно, континуум). И где противоречие?

ZVS писал(а):

всякое сечение определяет некое иррациональное число

Неверно - некое вещественное число, которое может быть и рациональным.

[ZVS]

Echo-Off писал(а):

Неверно - некое вещественное число, которое может быть и рациональным.

Извиняюсь.Конечно не всякое.
Что сути дела не меняет.
Пусть для функции её переменная x может иметь два значения x1 и x2.Эти значения существуют одновременно, как и значения функции ими определяемые.Но сама переменная может принимать только либо одно, либо другое значение.Никак нельзя иначе-с.
Для сечения, способ его задания по определению один, для всего множества рациональных чисел, через разбиение которого на два, оно и определяется.Естественно способов задания сечения может быть множество,вот только одновременно существует только одно.Где то так.
Таким образом сами по себе иррациональные числа существовали и до того, как г-н Дедекинд стал их определять через сечения.Вот только после его определения, они стали существовать по очереди.
В чем я не прав?(С)

Добавлено спустя 14 минут 22 секунды:

незваный гость писал(а):

:evil:
Он не ошибался. Он определял неформально, что не одно и тоже. И чем раньше Вы это поймёте, тем лучше для Вас.

Я знаю только одно определение функции: $f: X \to Y \Leftrightarrow$ по определению $(f \subset X \times Y) \wedge (\forall x \in X \, \exists ! y \in Y : (x, y) \in f)$. При этом $X$ называется областью определения, а $Y$ — областью значений функции.

Добавлено спустя 5 минут 18 секунд:

ZVS писал(а):

Г.М Фихтенгольц "Основы мат.анализа" гл. 2-17 Функции одной переменной.

А основы — это основы и есть. Это вовсе не университетский курс. Может быть, подходят для тех.вузов, может — уже нет. В старших классах ФМШ использовались…

Не забывая при этом тогда вставлять:"по моему мнению" и "на данный момент" ,вдруг как не раз бывало, придется уточнять формулировку.
Собственно, Вы лишь подтвердили мою попытку пересмотреть некоторые понятия.Оказывается за тот десяток лет, что прошел после моих университетов,Фихт окончательно устарел.Кстати, кто в курсе чей тогда курс матана читается в серьезных заведениях ,типа МВТУ или МИФИ?А функ.ан. Колмогорова еще не отменили?

[PAV]

ZVS писал(а):

Естественно способов задания сечения может быть множество,вот только одновременно существует только одно.Где то так.

Я не понимаю, что означает "одновременно существует только одно". Сечений существует континуум. Каждое сечение однозначно определяет вещественное число. А насчет одновременности существования - это уже какие-то фантазии пошли.

[Echo-Off]

ZVS писал(а):

Таким образом сами по себе иррациональные числа существовали и до того, как г-н Дедекинд стал их определять через сечения.Вот только после его определения, они стали существовать по очереди.

Да-да, становитесь в очередь, не задерживайтесь. Сегодня с 13:00 до 14:00 существует только число $\sqrt2$, потом до 15:30 будет существовать $\pi^e$, затем до конца рабочего дня $1+1/(2+1/(3+1/(4+1/\dots)))$. Воскресенье - выходной, никаких чисел не существует. График существований чисел на понедельник будет опубликован завтра вечером. Пользоваться не существующими на данный момент числами запрещено.

[Профессор Снэйп]

А $\pi^e$ --- точно иррациональное число?

Я вот слышал, что иррациональность $\pi+e$ --- это открытая проблема.